博弈问题之SG函数博弈小结

SG函数：

给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移 动者判负。事实上，这个游戏可以认为是所有Impartial Combinatorial Games的抽象模型。也就是说，任何一个ICG都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。下 面我们就在有向无环图的顶点上定义Sprague-Garundy函数。首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

在我的理解中，sg函数就是一个对有向无环图dfs的过程，在处理nim博弈时，多个石堆可以看成多个sg函数值的异或。

例题：

POJ2311 Cutting Game

典型的sg博弈，找后继状态。题意是给出一个n*m的纸片，每次剪成两部分，谁先剪到1*1就胜利。这就是一个找后继的题目，每次剪成的两部分就是前一状态的后继，只要将两个部分的sg值异或起来就是前一状态的sg值。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)
#define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i)
#define N 1000000007
using namespace std;
inline void RD(int &ret)
{
    char c;
    do
    {
        c=getchar();
    }
    while(c<'0'||c>'9');
    ret=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
    {
        ret=ret*10+(c-'0');
    }
}
inline void OT(int a)
{
    if(a>=10)
    {
        OT(a/10);
    }
    putchar(a%10+'0');
}
int sg[201][201];
int dfs(int a,int b)//sg函数的一般写法
{
    if(sg[a][b]>=0)
    {
        return sg[a][b];
    }
    int i,map[201],r;//map标记数组一定要在dfs内部定义，不然会出现错误
    mem(map,0);
    FOR(2,(a/2),i)
    {
        r=dfs(i,b)^dfs(a-i,b);//后继的异或得到前一状态的sg值
        map[r]=1;
    }
    FOR(2,(b/2),i)
    {
        r=dfs(a,i)^dfs(a,b-i);
        map[r]=1;
    }
    FOR(0,200,i)
    {
        if(map[i]==0)
        {
            return sg[a][b]=i;//mex公式的应用
        }
    }
}
int main()
{
    int n,m,sum;
    mem(sg,-1);
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        sum=dfs(n,m);
        if(sum>0)
        {
            printf("WIN\n");
        }
        else
        {
            printf("LOSE\n");
        }
    }
    return 0;
}

POJ2425 A Chess Game

题意是给你一个拓扑图，一个起点上的n个棋子，两个玩家交替移动棋子，谁无法移动谁输，典型的sg函数运用。套用模板就行了。此题数据量较大，加入了输入优化后刷到了第一版第四名，nice!

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)
#define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i)
#define N 1000000007
using namespace std;
inline void RD(int &ret)
{
    char c;
    do
    {
        c=getchar();
    }
    while(c<'0'||c>'9');
    ret=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
    {
        ret=ret*10+(c-'0');
    }
}
inline void OT(int a)
{
    if(a>=10)
    {
        OT(a/10);
    }
    putchar(a%10+'0');
}
int vis[1001][1001],sg[1001];
int n;
int dfs(int x)//典型的sg过程
{
    int i;
    if(sg[x]!=-1)
    {
        return sg[x];
    }
    int f[1001];
    mem(f,0);
    For(0,n,i)
    {
        if(vis[x][i]!=-1)
        {
            f[dfs(i)]=1;
        }
    }
    i=0;
    while(f[i])
    {
        i++;
    }
    return sg[x]=i;
}
int main()
{
    int i,j,k,t,x,p,sum;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        mem(vis,-1);
        mem(sg,-1);
        For(0,n,i)
        {
            RD(k);
            if(k==0)
            {
                sg[i]=0;
            }
            For(0,k,j)
            {
                RD(t);
                vis[i][t]=1;//建图
            }
        }
        while(1)
        {
            RD(x);
            if(x==0)
            {
                break;
            }
            sum=0;
            For(0,x,i)
            {
                RD(p);
                sum^=dfs(p);
            }
            if(sum!=0)
            {
                printf("WIN\n");
            }
            else
            {
                printf("LOSE\n");
            }
        }
    }
    return 0;
}

POJ2068 Nim

题意是圆桌上有2n个人，奇数一队，偶数一队，每个人都有一个拿走棋子的最高限额，问你最后1对能否获胜。

还是用强大的sg函数过的，记录下每个状态的sg。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include <queue>
#include<map>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)
#define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i)
using namespace std;
inline void RD(int &ret)
{
    char c;
    do
    {
        c=getchar();
    }
    while(c<'0'||c>'9');
    ret=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
    {
        ret=ret*10+(c-'0');
    }
}
inline void OT(int a)
{
    if(a>=10)
    {
        OT(a/10);
    }
    putchar(a%10+'0');
}
int n,s,m[22],sg[22][8200],sum;
int dfs(int x,int y)
{
    if(sg[x][y]!=-1)
    {
        return sg[x][y];
    }
    int i,j;
    FOR(1,m[x],i)
    {
        if(y-i<0)
        {
            break;
        }
        if(x+1>=2*n)
        {
            j=0;
        }
        else
        {
            j=x+1;
        }
        if(dfs(j,y-i)==0)
        {
            return sg[x][y]=1;
        }
    }
    return sg[x][y]=0;
}
int main()
{
    int i;
    while(1)
    {
        RD(n);
        if(n==0)
        {
            break;
        }
        RD(s);
        For(0,2*n,i)
        {
            RD(m[i]);
        }
        mem(sg,-1);
        FOR(0,2*n,i)
        {
            sg[i][0]=1;
        }
        sum=dfs(0,s);
        if(sum==0)
        {
            printf("0\n");
        }
        else
        {
            printf("1\n");
        }
    }
    return 0;
}

POJ3537 Crosses and Crosses

题意：给出一个1*n的矩形，上面有n个方格，现有两人分别在上面画×，谁先能画出三个×相连就赢了。这就是一个sg函数的母问题转化为子问题的题目，由于在第x位置画了×后，则就转变成(x-3)个格子画×和(n-x-2)个格子画×。。。这就能不断的分解下去，最后将所有sg值异或起来就是正解了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include <queue>
#include<map>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)
#define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i)
using namespace std;
inline void RD(int &ret)
{
    char c;
    do
    {
        c=getchar();
    }
    while(c<'0'||c>'9');
    ret=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
    {
        ret=ret*10+(c-'0');
    }
}
inline void OT(int a)
{
    if(a>=10)
    {
        OT(a/10);
    }
    putchar(a%10+'0');
}
int sg[2001];
int dfs(int x)
{
    if(x<0)
    {
        return 0;
    }
    if(sg[x]>=0)
    {
        return sg[x];
    }
    int i,y;
    bool v[2001]={false};
    FOR(1,x,i)
    {
        y=dfs(i-3)^dfs(x-i-2);//找后继（经典）
        v[y]=true;
    }
    for(i=0;;i++)
    {
        if(v[i]==false)
        {
            return sg[x]=i;
        }
    }
}
int main()
{
    int n,sum;
    mem(sg,-1);
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        sum=dfs(n);
        if(sum)
        {
            printf("1\n");
        }
        else
        {
            printf("2\n");
        }
    }
    return 0;
}

POJ2599 A funny game

记忆化搜索，这题的博弈味道不浓，更多的是搜索。题意是给一个图，两人轮流移动，走过的节点不能再走。水题，dfs+标记就行。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)
#define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i)
#define N 1000000007
using namespace std;
inline void RD(int &ret)
{
    char c;
    do
    {
        c=getchar();
    }
    while(c<'0'||c>'9');
    ret=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
    {
        ret=ret*10+(c-'0');
    }
}
inline void OT(int a)
{
    if(a>=10)
    {
        OT(a/10);
    }
    putchar(a%10+'0');
}
int n,v[1001][1001],vis[1001];
int dfs(int x)
{
    int i;
    FOR(1,n,i)
    {
        vis[x]=1;
        if(v[i][x]&&!vis[i])
        {
            if(!dfs(i))
            {
                vis[x]=0;
                return i;
            }
        }
        vis[x]=0;
    }
    return 0;
}
int main()
{
    int m,i,a,b;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        mem(v,0);
        mem(vis,0);
        FOR(1,n-1,i)
        {
            RD(a);
            RD(b);
            v[a][b]=v[b][a]=1;
        }
        i=dfs(m);
        if(i!=0)
        {
            printf("First player wins flying to airport %d\n",i);
        }
        else
        {
            printf("First player loses\n");
        }
    }
    return 0;
}