POJ1061(线性同余方程)

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4
扩展欧几里得求不定方程:ax+by=gcd(a,b)的解.不定方程 ax+by=c。若gcd(a,b)不能整除c，那么不定方程无解。
代码一:

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL extgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    LL d=a;
    if(b!=)
    {
        d=extgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b*x);
    }
    else
    {
        x=;y=;
    }
    return d;
}
LL s1,s2,v1,v2,l;
int main()
{
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&s1,&s2,&v1,&v2,&l)!=EOF)
    {
        LL a,b,c,x,y;
        a=v1-v2;
        b=l;
        c=s2-s1;
        if(a<)    a+=l;
        LL gcd=extgcd(a,b,x,y);
        if(c%gcd!=)
        {
            printf("Impossible\n");
        }
        else
        {
            LL mod=b/gcd;
            x=(x*(c/gcd))%mod;//注意扩大 c/gcd 倍
            while(x<)    x+=mod;
            printf("%lld\n",x);
        }
    }
    return ;
} 

代码二:

#include <iostream>
using namespace std;
typedef __int64 LL;//int前双'_'
LL extgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    LL d=a;
    if(b!=)
    {
        d=extgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b*x);
    }
    else
    {
        x=;y=;
    }
    return d;
}
LL gcd(LL a,LL b)
{
    if(b==)    return a;
    else    return gcd(b,a%b);
}
LL s1,s2,v1,v2,m;
int main()
{
    while(cin>>s1>>s2>>v1>>v2>>m)
    {
        //两者相遇的条件 s1+v1*t=s2+v2*t-k*m => (v1-v2)*t+m*k=s2-s1
        //得线性同余方程 ax+by=c (a:v1-v2,x:t,b:m,k:y,c:s1-s1)
        LL a=v1-v2;
        if(a<)    a+=m;
        LL b=m;
        LL c=s2-s1;
        if(c<)    c+=m;
        LL div=gcd(a,b);
        if(c%div!=)    //同余方程ax+by=c.有解的充要条件是 c|gcd(a,b).
        {
            cout<<"Impossible"<<endl;
            continue;
        }
        a/=div;//将各个系数均缩小div倍
        b/=div;//ax+by=c => a'x+b'y=c'
        c/=div;
        LL x=,y=;
        extgcd(a,b,x,y);//求解线性同余方程 ax+by=1
        x=(x*c)%b;//扩展欧几里得求的是ax+by=1中的x,结果需要将x扩大c倍
        while(x<)    x+=b;
        cout<<x<<endl;
    }
    return ;
}

java版

import java.util.Scanner;
import static java.lang.System.out;
public class Main{
    static Scanner in = new Scanner(System.in);
    static long s1,s2,v1,v2,l;
    static class LL{
        private long value;
        public LL(long value)
        {
            this.value=value;
        }
        public long getValue()
        {
            return this.value;
        }
        public void setValue(long value)
        {
            this.value=value;
        }
    }
    static long extgcd(long a,long b,LL x,LL y)
    {
        long d=a;
        if(b!=0)
        {
            d=extgcd(b,a%b,y,x);
            long buf = y.getValue();
            buf-=(a/b*x.getValue());
            y.setValue(buf);
        }
        else
        {
            x.setValue(1);y.setValue(0);;
        }
        return d;
    }
    public static void main(String args[]){

        while(in.hasNext())
        {
            s1=in.nextLong();
            s2=in.nextLong();
            v1=in.nextLong();
            v2=in.nextLong();
            l=in.nextLong();
            long a=v1-v2,b=l,c=s2-s1;
            if(a<0)    a+=l;
            LL x = new LL(0),y = new LL(0);
            long div=extgcd(a,b,x,y);
            if(c%div!=0)
            {
                out.println("Impossible");
                continue;
            }
            long mod=b/div;
            long res=x.getValue();
            res=(res*(c/div))%mod;//最小正整数解
            while(res<0)
                res+=mod;
            out.println(res);
        }
    }
}