数学:乘法逆元-拓展GCD
乘法逆元应用在组合数学取模问题中,这里给出的实现不见得好用
给出拓展GCD算法:
扩展欧几里得算法是指对于两个数a,b
一定能找到x,y(均为整数,但不满足一定是正数)
满足x*a+y*b=gcd(a,b)
gcd(x,y)是指x 与 y的最大公约数
有啥用呢?求解形如 a*x +b*y = c 的通解
然后我们先介绍同余方程,再介绍乘法逆元
同余方程
a≡b(mod m) 等价于小学的运算式 b÷m 余数为a
也就是a mod m=b
其实介绍这个就是看怎么把≡拿掉
乘法逆元
ax ≡ (mod m)
我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元
可以等价于这样的表达式: a*x + m*y =
当满足这个式子的时候:a*x + b*y = c 有解的充要条件: c % gcd(a , b) == 0
一般,我们能够找到无数组解满足条件,但是一般是让你求解出最小的那组解
我们求解出来了一个特殊的解 x0 ,我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了
#include<cstdio>
using namespace std;
inline long long read()
{
long long x=,f=;char ch=getchar();
while(ch<''||ch>'') {if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
return x*f;
}
int a,b;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==) {x=;y=;return;}
exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
}
//ax ≡ 1 (mod b)
//-> a*x + b*y = 1
//->求出x和y后让x%b就是最小解了
int main()
{
a=read();b=read();
int x,y;
exgcd(a,b,x,y);
x=(x%b+b)%b;
printf("%d",x);
return ;
}
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