【KMP】【矩阵加速】【递推】洛谷 P3193 [HNOI2008]GT考试 题解

    看出来矩阵加速也没看出来KMP……

题目描述

阿申准备报名参加 GT 考试，准考证号为\(N\)位数\(X_1,X_2…X_n(0\le X_i\le9)\)，他不希望准考证号上出现不吉利的数字。 他的不吉利数学\(A_1,A_2…A_m(0\le A_i\le 9)\)有\(M\)位，不出现是指\(X_1,X_2…X_n\)中没有恰好一段等于\(A_1,A_2…A_m\)​，\(A_1\)和\(X_1\)可以为\(0\)。

输入输出格式

输入格式：

第一行输入\(N,M,K\)，接下来一行输入\(M\)位的数。

输出格式：

阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模\(K\)取余的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

4 3 100
111

输出样例#1：

81

说明

\(N\le 10^9,M\le 20,K\le 1000\)

题解：

    这个题虽然没怎么提字符串，但是KMP却是解题的关键。

    首先令f[i][j]表示到第i个为止连续匹配了j个的方案数，考虑DP或递推。

    一开始以为所有的转移都不带系数，感觉后面接一个数要么能继续匹配，要么不能继续匹配，只有两种转移情况，然后发现是比较固定的，\(N\le 10^9\)就可以矩阵加速完成推导了。

    不过怎么改都过不了样例。想到后面接的数字有10种情况，只有1种可以连续，就分配1:9的倍数比例转移，当前方案数×9转移到失配，当前方案数×1转移到下一个。这时候样例过了，手敲的几组很弱的数据也没问题。交上去一分没有……

    结果看了一些题解才知道，上面的方案数×9转移到失配中的失配不一定直接到0了，而是可能失配到中间，也就是可以从半路接着匹配到其它的，这里就和KMP不谋而合了。比如

1313匹配到
   ↑
1312
虽然在最后一位失配了，但是不至于全部重来，可以只用移2位，得到
1313
   ↑
1312 后面的让之后的转移去做好了

    因此\(f[i][j]=\sum\limits_{k=1}^{m-1}f[i-1][k]*a[i][k][j]\)，\(a[i][k][j]\)表示到第i-1个字符连续匹配成功k次转移到第i个字符连续转移j次的方案数。正常情况下\(a[i][k][k+1]=1\)，然后KMP的nxt数组就派上用场了，它可以求出下一个字符是c时的最长匹配\(f[i_1][j_1]\)，让方案数变为加上\(f[i_1][j_1]\)。

    初始化\(f[0][0]=1\)，因为对每一个\(i\)，\(a\)数组都是一定的，所以放进矩阵里转移，进行矩阵加速就可以了。状态矩阵是\((m+1)\times 1\)的，转移矩阵就需要\((m+1)\times (m+1)\)。

    就有了$$\begin{bmatrix}
a[0][1] & a[1][1] & \cdots & a[m][1]\\
a[0][2] & a[1][2] & \cdots & a[m][2]\\
\cdots & \cdots & \ddots & \cdots\\
a[m][1] & a[m][2] & \cdots & a[m][m]
\end{bmatrix}
\times \begin{bmatrix}
f[i][0]\\
f[i][1]\\
\cdots \\
f[i][m]
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
f[i+1][0]\\
f[i+1][1]\\
\cdots \\
f[i+1][m]
\end{bmatrix}$$

    在计算\(a\)数组时，方法和KMP匹配很像，只不过每次都要匹配'0'~'9'，而且不是真正的KMP，所以变量\(j\)都要赋成\(i-1\)。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
long long p;
struct matrix//矩阵部分
{
    long long a[25][25];
    int x,y;
    matrix(int x,int y)
    {
        this->x=x;
        this->y=y;
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    matrix()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    matrix mul(matrix m)
    {
        matrix n(x,m.y);
        for(int i=1;i<=x;++i)
            for(int j=1;j<=m.y;++j)
                for(int k=1;k<=y;++k)
                {
                    n.a[i][j]+=a[i][k]*m.a[k][j]%p;
                    n.a[i][j]%=p;
                }
        return n;
    }
};
int nxt[30],m;
char t[30];
void kmp()
{
    for(int i=2,j=0;i<=m;++i)//单纯求nxt
    {
        while(j&&t[j+1]!=t[i])
            j=nxt[j];
        if(t[j+1]==t[i])
            ++j;
        nxt[i]=j;
    }
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d%d%lld",&n,&m,&p);
    scanf("%s",t+1);
    kmp();
    matrix x(m+1,m+1);

    for(int i=1;i<=m;++i)
        for(int j='0';j<='9';++j)//每个都要匹配，位置不一定都相同
        {
            int k=i-1;
            while(k&&(k==m||t[k+1]!=j))
                k=nxt[k];
            if(t[k+1]==j)
                ++k;
            x.a[k+1][i]++;
        }
    for(int i=1;i<=m+1;++i)
    {
        for(int j=1;j<=m+1;++j)
            printf("%d ",x.a[i][j]);
        puts("");
    }
    matrix y(m+1,1);
    y.a[1][1]=1;
    matrix ans(m+1,m+1);
    for(int i=1;i<=m+1;++i)
        ans.a[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ans=ans.mul(x);
        x=x.mul(x);
        n>>=1;
    }
    ans=ans.mul(y);
    long long sum=0;
    for(int i=1;i<=m;++i)
        sum+=ans.a[i][1];
    printf("%lld\n",sum%p);
    return 0;
}