『题解』洛谷P3384 【模板】树链剖分

Problem Portal

Portal1: Luogu

Description

如题，已知一棵包含$N$个结点的树（连通且无环），每个节点上包含一个数值，需要支持以下操作：

操作$1$：格式： 1 x y z 表示将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上$z$；

操作$2$：格式： 2 x y 表示求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和；

操作$3$：格式： 3 x z 表示将以x为根节点的子树内所有节点值都加上$z$；

操作$4$：格式： 4 x 表示求以x为根节点的子树内所有节点值之和。

Input

第一行包含$4$个正整数$N$、$M$、$R$、$P$，分别表示树的结点个数、操作个数、根节点序号和取模数（即所有的输出结果均对此取模）。

接下来一行包含$N$个非负整数，分别依次表示各个节点上初始的数值。

接下来$N - 1$行每行包含两个整数$x$、$y$，表示点$x$和点$y$之间连有一条边（保证无环且连通）

接下来$M$行每行包含若干个正整数，每行表示一个操作，格式如下：

操作$1$： 1 x y z

操作$2$： 2 x y

操作$3$： 3 x z

操作$4$： 4 x

Output

输出包含若干行，分别依次表示每个操作$2$或操作$4$所得的结果（对$P$取模）。

Sample Input

Sample Output

2

21

Solution

模板树链剖分题。

一些概念：

重儿子：在每一个非叶子结点的儿子中，以那个儿子结点为根的子树的结点数最多的儿子为该结点的重儿子；
轻儿子：在非叶子，非重儿子结点；
重边：一个父亲结点连结它的重儿子的边；
轻边：非重边；
重链：相邻重边连起来的，连接一条重儿子结点的链叫重链。

dfs1的功能：

求出每结点的深度；
求出每个结点的父亲节点；
求出每个非叶子结点的子树的大小；
求出每个非叶子结点的重儿子的编号。

dfs2的功能：

处理每条链；
标记每个结点的新编号；
求出每个结点所在链的顶；
把结点的初始值更新到新编号里。

Code

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

using namespace std;

const int MAXN = 2000005;

struct EDGE {

    int u, v, nxt;

} edge[MAXN];

struct node {

    int l, r, w, size, f;

} tree[MAXN];

int n, m, root, mod, cnt, num = 1, a[MAXN], b[MAXN], tot[MAXN], son[MAXN], top[MAXN], idx[MAXN], dep[MAXN], head[MAXN], father[MAXN];

inline void addedge(int u, int v) {

    edge[num].u = u; edge[num].v = v; edge[num].nxt = head[u]; head[u] = num++;

}

//dep[i]表示i结点的深度

//father[i]表示i结点的父亲结点

//son[]表示重儿子的编号

inline int dfs1(int now, int f, int deep) {

    dep[now] = deep;

    father[now] = f;

    tot[now] = 1;

    int Maxson = -1;

    for (int i = head[now]; ~i; i = edge[i].nxt) {

        if (edge[i].v == f) continue;

        tot[now] += dfs1(edge[i].v, now, deep + 1);

        if (tot[edge[i].v] > Maxson) {

            Maxson = tot[edge[i].v];

            son[now] = edge[i].v;

        }

    }

    return tot[now];

}

inline void dfs2(int now, int topf) {

    idx[now] = ++cnt;

    a[cnt] = b[now];

    top[now] = topf;

    if (!son[now]) return ;

    dfs2(son[now], topf);

    for (int i = head[now]; ~i; i = edge[i].nxt)

        if (!idx[edge[i].v]) dfs2(edge[i].v, edge[i].v);

}

inline void pushup(int root) {

    tree[root].w = (tree[root << 1].w + tree[root << 1 | 1].w + mod) % mod;

}

inline void build(int root, int l, int r) {

    tree[root].l = l; tree[root].r = r; tree[root].size = r - l + 1;

    if (l == r) {

        tree[root].w = a[l];

        return ;

    }

    int mid = l + r >> 1;

    build(root << 1, l, mid);

    build(root << 1 | 1, mid + 1, r);

    pushup(root);

}

inline void pushdown(int root) {

    if (!tree[root].f) return ;

    tree[root << 1].w = (tree[root << 1].w + tree[root << 1].size * tree[root].f) % mod;

    tree[root << 1 | 1].w = (tree[root << 1 | 1].w + tree[root << 1 | 1].size * tree[root].f) % mod;

    tree[root << 1].f = (tree[root << 1].f + tree[root].f) % mod;

    tree[root << 1 | 1].f = (tree[root << 1 | 1].f + tree[root].f) % mod;

    tree[root].f = 0;

}

inline void update_add(int root, int ansl, int ansr, int val) {

    if (ansl <= tree[root].l && tree[root].r <= ansr) {

        tree[root].w += tree[root].size * val;

        tree[root].f += val;

        return ;

    }

    pushdown(root);

    int mid = tree[root].l + tree[root].r >> 1;

    if (ansl <= mid) update_add(root << 1, ansl, ansr, val);

    if (ansr > mid) update_add(root << 1 | 1, ansl, ansr, val);

    pushup(root);

}

//线段树操作

inline void tree_add(int x, int y, int val) {

    while (top[x] != top[y]) {

        if (dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y);

        update_add(1, idx[top[x]], idx[x], val);

        x = father[top[x]];

    }

    if (dep[x] > dep[y]) swap(x, y);

    update_add(1, idx[x], idx[y], val);

}

inline int query_sum(int root, int ansl, int ansr) {

    int ret = 0;

    if (ansl <= tree[root].l && tree[root].r <= ansr) return tree[root].w;

    pushdown(root);

    int mid = tree[root].l + tree[root].r >> 1;

    if (ansl <= mid) ret = (ret + query_sum(root << 1, ansl, ansr)) % mod;

    if (ansr > mid) ret = (ret + query_sum(root << 1 | 1, ansl, ansr)) % mod;

    return ret;

}

inline void tree_sum(int x, int y) {

    int ret = 0;

    while (top[x] != top[y]) {

        if (dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y);

        ret = (ret + query_sum(1, idx[top[x]], idx[x])) % mod;

        x = father[top[x]];

    }

    if (dep[x] > dep[y]) swap(x, y);

    ret = (ret + query_sum(1, idx[x], idx[y])) % mod;

    printf("%d\n", ret);

}

int main() {

    memset(head, -1, sizeof(head));

    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &root, &mod);

    for (int i = 1; i <= n; i++)

        scanf("%d", &b[i]);

    for (int i = 1; i < n; i++) {

        int x, y;

        scanf("%d%d", &x, &y);

        addedge(x, y);

        addedge(y, x);

    }

    dfs1(root, 0, 1);

    dfs2(root, root);

    build(1, 1, n);

    while (m--) {

        int opt, x, y, val;

        scanf("%d", &opt);

        if (opt == 1) {

            scanf("%d%d%d", &x, &y, &val);

            val %= mod;

            tree_add(x, y, val);

        } else

        if (opt == 2) {

            scanf("%d%d", &x, &y);

            tree_sum(x, y);

        } else

        if (opt == 3) {

            scanf("%d%d", &x, &val);

            update_add(1, idx[x], idx[x] + tot[x] - 1, val % mod);

        } else {

            scanf("%d", &x);

            printf("%d\n", query_sum(1, idx[x], idx[x] + tot[x] - 1));

        }

    }

    return 0;

}