『题解』洛谷P1993 小K的农场

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Portal1: Luogu

Description

小\(K\)在\(\mathrm MC\)里面建立很多很多的农场，总共\(n\)个，以至于他自己都忘记了每个农场中种植作物的具体数量了，他只记得一些含糊的信息（共\(m\)个），以下列三种形式描述：

• 农场\(a\)比农场\(b\)至少多种植了\(c\)个单位的作物，

• 农场\(a\)比农场\(b\)至多多种植了\(c\)个单位的作物，

• 农场\(a\)与农场\(b\)种植的作物数一样多。

但是，由于小\(K\)的记忆有些偏差，所以他想要知道存不存在一种情况，使得农场的种植作物数量与他记忆中的所有信息吻合。

Input

第一行包括两个整数\(n\)和\(m\)，分别表示农场数目和小\(K\)记忆中的信息数目。

接下来\(m\)行：

如果每行的第一个数是\(1\)，接下来有\(3\)个整数\(a, b, c\)，表示农场\(a\)比农场\(b\)至少多种植了\(c\)个单位的作物。

如果每行的第一个数是\(2\)，接下来有\(3\)个整数\(a, b, c\)，表示农场\(a\)比农场\(b\)至多多种植了\(c\)个单位的作物。如果每行的第一个数是\(3\)，接下来有\(2\)个整数\(a, b\)，表示农场\(a\)种植的的数量和\(b\)一样多。

Output

如果存在某种情况与小\(K\)的记忆吻合，输出Yes，否则输出No。

Sample Input

3 3
3 1 2
1 1 3 1
2 2 3 2

Sample Output

Yes

Hint

对于\(100\%\)的数据保证：\(1 \le n, m, a, b, c \le 10000\)。

Solution

我们用\(\mathrm{s[i]}\)表示\(i\)农场的作物数量，那么题目中的条件我们可以表示为：

1. \(s[a] \ge s[b] + c\)

2. \(s[b] \ge s[a] - c\)

3. \(s[b] = s[a]\)

因为我们如果想让这道题用差分约束做，要把所有的约束条件都改为\(\le\)或者\(\ge\)的形式，但是此题的所有农场的做作物数都不能为负数，所以必须要用最长路解决。因此，我们可以改为：

1. \(s[a] \ge s[b] + c\)

2. \(s[b] \ge s[a] - c\)

3. \(s[a] \ge s[b] + 0\)

4. \(s[b] \ge s[a] + 0\)

5. \(s[i] \ge 0\)

然后我们开始建边：

对于题目给出的\(a, b, c\)

1. \(b \to a\)建一条权值为\(c\)的边；

2. \(a \to b\)建一条权值为\(-c\)的边；

3. \(a \to b\)建一条权值为\(0\)的边；

4. \(b \to a\)键一条权值为\(0\)的边；

最后在\(0 \to i, i \in [1, n]\)建权值为\(0\)的边。

建完之后用\(\mathrm{SPFA}\)跑一遍最长路，顺便判断环就可以了。

Code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>

using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f, MAXN = 20005;
struct EDGE {
    int to, nxt, val;
} edge[MAXN];
int n, m, u, v, opt, val, cnt, tot[MAXN], vis[MAXN], dis[MAXN], head[MAXN];
inline void addedge(int u, int v, int val) {//邻接表存图
    edge[++cnt].to = v; edge[cnt].val = val; edge[cnt].nxt = head[u]; head[u] = cnt;
}
inline bool SPFA() {//SPFA最长路
    priority_queue<int> Q;
    memset(dis, -INF, sizeof(dis));
    vis[0] = 1;
    dis[0] = 0;
    tot[0] = 1;
    Q.push(0);
    while (!Q.empty()) {
        int u = Q.top();
        Q.pop();
        vis[u] = 0;
        for (int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt) {
            int v = edge[i].to;
            if (dis[v] < dis[u] + edge[i].val) {
                dis[v] = dis[u] + edge[i].val;
                if (!vis[v]) {
                    tot[v] = tot[u] + 1;
                    Q.push(v);
                    vis[v] = 1;
                    if (tot[v] > n) return 0;
                }
            }
        }
    }
    return 1;
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(head, -1, sizeof(head));
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d", &opt);
        if (opt == 1) {
            scanf("%d%d%d", &u, &v, &val);
            addedge(u, v, val);
        } else
        if (opt == 2) {
            scanf("%d%d%d", &u, &v, &val);
            addedge(v, u, -val);
        } else {
            scanf("%d%d", &u, &v);
            addedge(u, v, 0);
            addedge(v, u, 0);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        addedge(0, i, 0);//按题目的描述建边
    if (SPFA()) printf("Yes\n"); else printf("No\n");
    return 0;
}