[NOIp2018] luogu P5020 货币系统

还在补暑假作业。

题目描述

你有一个由 NNN 种面值的货币组成的货币系统。定义两个货币系统等价，当且仅当 ∀x∈N∗\forall x\in\N^*∀x∈N∗ 要么同时能被两个货币系统表示，要么同时不能被表示。尝试从 NNN 种面值中删除尽量多种，使得删除后得到的新系统与原系统等价。求新系统的面值种数。

Solution

一种很显然的想法是，比如 {2,3,5}\{2,3,5\}{2,3,5}，因为 2+3=52+3=52+3=5，所以每次我想用 555 的时候我都可以用 2+32+32+3 代替，所以 555 是废的。换句话说，如果一个数可以表示成其他若干个数的和，那么这个数应该被删除。

考虑用深度优先搜索实现这一步骤，可以得到 80 分。时间复杂度 O(Tnn)O(Tn^n)O(Tnn)。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>

const int MAXN=110;
const int MAxm=25010;

int T,n;
int a[MAXN+10];

int dfs(int x,int y){
	if(x<0) return 0;
	if(!x) return 1;
	int c=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(!c&&y!=i) c=dfs(x-a[i],y);
		if(c) break;
	}
	return c;
}
int main(){
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;++i)
			scanf("%d",&a[i]);
		int ans=n;
		for(int i=1;i<=n;++i)
			ans-=dfs(a[i],i);
		printf("%d\n",ans);
	}
}

设 f[i]f[i]f[i] 表示 iii 这个面值是否可以被表示出来。显然，瓶颈就是求解 fff 数组。

考虑使用动态规划优化此过程。先将 aaa 数组排序，然后 ∀a[i]\forall a[i]∀a[i] 有 f[j]=f[j] or f[i−a[j]]f[j]=f[j]\text{ or }f[i-a[j]]f[j]=f[j] or f[i−a[j]]

这样就可通过此题。设 max⁡a=M=25 000\max a=M=25\ 000maxa=M=25 000，则时间复杂度为 O(TM2)O(TM^2)O(TM2)。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

const int MAXN=110;
const int MAXM=25010;

int T,n;
int a[MAXN+10];
int f[MAXM+10];

int dfs(int x,int y){
	if(x<0) return 0;
	if(!x) return 1;
	int c=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(!c&&y!=i) c=dfs(x-a[i],y);
		if(c) break;
	}
	return c;
}
int main(){
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;++i)
			scanf("%d",&a[i]);
		std::sort(a+1,a+n+1);
		memset(f,0,sizeof(f));f[0]=1;
		int ans=n;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			if(f[a[i]]){
				--ans;
				continue;
			}
			for(int j=a[i];j<=a[n];++j)
				f[j]=f[j]||f[j-a[i]];
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}