【DP】【单调队列】洛谷 P2216 [HAOI2007]理想的正方形 题解
算是单调队列的复习吧,不是很难
题目描述
有一个$a\times b$的整数组成的矩阵,现请你从中找出一个$n\times n$的正方形区域,使得该区域所有数中的最大值和最小值的差最小。
输入输出格式
输入格式:
第一行为$3$个整数,分别表示$a,b,n$的值。
第二行至第$a+1$行每行为$b$个非负整数,表示矩阵中相应位置上的数。每行相邻两数之间用一空格分隔。
输出格式:
仅一个整数,为$a\times b$矩阵中所有“$n\times n$正方形区域中的最大整数和最小整数的差值”的最小值。
输入输出样例
输入样例#1:5 4 2
1 2 5 6
0 17 16 0
16 17 2 1
2 10 2 1
1 2 2 2输出样例#1:1说明
问题规模
(1)矩阵中的所有数都不超过$1,000,000,000$
(2)$20\%$的数据$2\le a,b\le 100,n\le a,n\le b,n\le 10$
(3)$100\%$的数据$2\le a,b\le 1000,n\le a,n\le b,n\le 100$
题解:
乍一看好像是类似前缀和二维容斥,可以$O(n^3)$搞。就是维护每个点向左上角一个边长为$k$的正方形中,最大值和最小值。发现只需要通过$k-1$递推,不用容斥
不过这样的时空都是$O(n^3)$的,数据范围是$1,000$,因此考虑优化。
事实上对于每个点只框定了这$n\times n$的范围的话,也就是宽度$latex n$是一定的,可以想到单队入门题滑动的窗口。不过这里前面每格都还维护了上面$n$个,那么我们就可以先预处理出每个点从自己开始上面$n$个中最大和最小值,这个可以用普通单队处理出来。要注意的是得维护两个单队,一个最小一个最大。
最后只统计右下角$(a-n+1)(b-n+1)$区域的答案,因为只有以这些点为右下角才能凑出完整的$n\times n$正方形来。(剩下部分虽然做了贡献但是不能被统计到答案……伤心:()
Code:
#include<cstdio>
#include<cstring>
int q1[1010],l1=0,r1=0;//最大
int q2[1010],l2=0,r2=0;//最小
int a[1010][1010];//向上n个最大
int b[1010][1010];//向上n个最小
int c[1010][1010];//原来的矩阵
int main()
{
memset(b,0x3f,sizeof(b));//注意这里b要取最小值所以要赋初值
int n,m,k;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j)
scanf("%d",&c[i][j]);
for(int i=1;i<=m;++i)
{
l1=0,r1=0;
l2=0,r2=0;
for(int j=1;j<=n;++j)
{
if(l1<r1&&q1[l1+1]<=j-k)//超出范围
++l1;
while(l1<r1&&c[q1[r1]][i]<c[j][i])//保证单调(减
--r1;
q1[++r1]=j;
a[j][i]=a[j][i]>c[q1[l1+1]][i]?a[j][i]:c[q1[l1+1]][i]; if(l2<r2&&q2[l2+1]<=j-k)
++l2;
while(l2<r2&&c[q2[r2]][i]>c[j][i])//保证单调(增
--r2;
q2[++r2]=j;
b[j][i]=b[j][i]<c[q2[l2+1]][i]?b[j][i]:c[q2[l2+1]][i];
}
}
int ans=0x3fffffff;
for(int i=k;i<=n;++i)
{
l1=0,r1=0;
l2=0,r2=0;
for(int j=1;j<=m;++j)
{
if(l1<r1&&q1[l1+1]<=j-k)
++l1;
while(l1<r1&&a[i][j]>a[i][q1[r1]])
--r1;
q1[++r1]=j;
if(l2<r2&&q2[l2+1]<=j-k)
++l2;
while(l2<r2&&b[i][j]<b[i][q2[r2]])
--r2;
q2[++r2]=j;
if(j>=k)
ans=ans<a[i][q1[l1+1]]-b[i][q2[l2+1]]?ans:a[i][q1[l1+1]]-b[i][q2[l2+1]];
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
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