「日常训练」The Intriguing Obsession(CodeForces Round #439 Div.2 C)

2018年11月30日更新，补充了一些思考。

题意（CodeForces 869C）

三堆点，每堆一种颜色；连接的要求是同色不能相邻或距离必须至少3。问对整个图有几种连接方法，对一个数取模。

解析

要求很重要：同色不能相邻很容易理解，但是>=3比较难理解。比较常见的是R->G->B->R，这样能看出来一个重要的结论：对单个节点只能连接某个颜色至多一个点（不然一定有距离为2的点）。
这样一来我们思考一下状态会和哪些东西有关联：如果我放一个一个新颜色在里面，它会怎么同原图产生联系？一是和几种颜色相连接，二是同几个点相连接，三就是不连接。（这是显然的，只能往这三个方向考虑）考虑第一个问题，会得出由上面加粗的情况，只能得到这个点只能和单种其他颜色连接的结论（也就是说，同一时刻我们只需要考虑两种颜色）。考虑第二个问题，会得出当它同某个点连接的时候，这个点将必须独立出来，不然不合题意（可能有人会思考，如果颜色是C，这个点本身是B，而它只是B->A，为什么一定要独立呢？原因很简单，在这里我们不考虑第三种颜色的影响，因为他们没有影响；那么这个情况下它就只是一个单独的点，仍然是相当于被独立出来的）。而将前两个问题同第三个问题结合起来，就能发现我们的状态了：$dp[i][j]$为第一个颜色有i个、第二个颜色有j个的情况下的方法数。它会有两种决策：新点要么与另一个颜色点群不连接，那么相当于无事发生过；要么与其中的一个点连接。而在只有这两个颜色的情况下，这个点只能跟这个新点独立出来（前面的结论）。因此有转移方程：$$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]\times j,dp[i][0]=dp[0][i]=1$$

这是两色下的转移方程，而两两之间的颜色是互不影响的，根据乘法原理，将三对的方案数相乘即可得解。注意到题目的n不超过5000，可以直接$O(n^2)$算法走人。

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代码

#include <bits/stdc++.h>
#define PB push_back
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define ZERO(X) memset((X),0,sizeof(X))
#define ALL(X) X.begin(),X.end()
#define F0(X,Y) for(int (X)=0;(X)!=(Y);++(X))
#define F1(X,Y) for(int (X)=1;(X)<=(Y);++(X))
using namespace std;
typedef pair<int,int> PI;
typedef pair<pair<int,int>, int> PII;
typedef pair<pair<pair<int,int>, int>, int> PIII;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

ll dp[5005][5005];
const ll mod=998244353;
int main()
{
    int a,b,c; cin>>a>>b>>c;
    int maxn=max(a,max(b,c));
    ZERO(dp);
    dp[1][0]=dp[0][1]=dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=maxn;++i) dp[0][i]=dp[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=maxn;++i)
        for(int j=1;j<=maxn;++j)
            dp[i][j]=((dp[i-1][j]%mod)+((dp[i-1][j-1]%mod)*j)%mod)%mod;
    cout<<(((dp[a][b]*dp[b][c])%mod)*dp[a][c])%mod<<endl;
    return 0;
}