液晶流在齐次 Besov 空间中的正则性准则

在 [Zhang, Zujin. Regularity criteria for the three dimensional Ericksen–Leslie system in homogeneous Besov spaces. Comput. Math. Appl. 75 (2018), no. 3, 1060--1065] 中, 我们讨论了 $$\bee\label{EL:Simple} \seddm{ \p_t\bbu   +(\bbu\cdot\n)\bbu     -\lap\bbu+\n P     =-\n\cdot[\n\bbd \odot\n\bbd],\\ \p_t\bbd+(\bbu\cdot\n)\bbd   =\lap \bbd     -\bbf(\bbd),\\ \Div\bbu=0,\\ (\bbu,\bbd)|_{t=0}=(\bbu_0,\bbd_0), } \eee$$ 说明如果 $$\bee\label{thm:EL:Simple:reg} \bbu\in L^\frac{2}{1+r}(0,T;\dot B^r_{\infty,\infty}(\bbR^3)),\quad 0<r<1, \eee$$ 则解光滑. 也讨论了 $$\bee\label{EL:d=1}   \seddm{   \p_t\bbu     +(\bbu\cdot\n)\bbu     -\lap \bbu     +\n P=-\n\cdot (\n\bbd\odot\n\bbd),\\   \p_t\bbd+(\bbu\cdot\n)\bbd     =\lap\bbd+|\n\bbd|^2\bbd,\\   \Div\bbu=0,\quad |\bbd|=1,\\   (\bbu,\bbd_0)|_{t=0}=(\bbu_0,\bbd_0).   }   \eee$$ 说明如果 $$\bee\label{thm:EL:Simple:d=1:reg}   \bbu\in L^\frac{2}{1+r}(0,T;\dot B^r_{\infty,\infty}(\bbR^3)),\quad   \n\bbd\in L^\frac{2}{1+s}(0,T;\dot B^s_{\infty,\infty}(\bbR^3)),\quad -1<r,s<1,   \eee$$   则解光滑. 最后讨论了一般的 Ericksen-Leslie 系统 $$\bee\label{EL}   \seddm{   \p_t\bbu     +(\bbu\cdot\n)\bbu     -\lap\bbu     +\n P       =-\Div \sez{(\n \bbd)^t \cfrac{\p W(\bbd,\n\bbd)}{\p (\n\bbd)}},\\   \p_t\bbd     +(\bbu\cdot\n)\bbd       =\bbh-(\bbd\cdot \bbh)\bbd,\\   \Div\bbu=0,\quad |\bbd|=1,\\   (\bbu,\bbd)|_{t=0}=(\bbu_0,\bbd_0),   }   \eee$$ 说明如果 $$\bee\label{thm:EL:reg}   \bbu\in L^\frac{2}{1+r}(0,T;\dot B^r_{\infty,\infty}(\bbR^3)),\quad   \n\bbd\in L^\frac{2}{1+s}(0,T;\dot B^s_{\infty,\infty}(\bbR^3)),\quad -1<r,s<1,   \eee$$   则解光滑.

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