yyb博客的几道神仙题

该比赛链接

T5

题意：

给你一个\(n\times n\)的网格，开始有\(m\)个被涂成黑色的格子，如果存在三个格子\((x,y)\)，\((y,z)\)，\((z,x)\)满足\((x,y)\)，\((y,z)\)均为黑格子且\((z,x)\)为白格子，那么就将\((z,x)\)涂黑，问最后会有多少个被涂黑的格子。

题解
关键词：构造 染色（hint: 不是原矩阵的染色）

T2

给定一个塔状结构，从上往下的第i层有2i−1个位置。
在最底层有一个(2n−1)的排列，然后往上的每一个格子都等于正下方，左下方，右下方三个数中第二大的那个。
显然已知顶端的数，构造一个满足条件的排列。无解输出"No"

把要的数放在中间，然后让它到达上一层的个数最多，剩下的空位置按照顺序搞就行了。
。。。。（x + 2）（x - 1）（x）（x + 1）（x - 2）。。。。

T3

C - Rabbit Exercise
转自yyb的blog

数轴上有n个点，一开始第i个点在位置ai。
现在按照次序进行m次操作，每次给定一个x，
然后从x−1和x+1两个点中等概率随机选择一个点，将x的坐标关于这个点对称。
这m次操作重复进行K轮，求最终每个点所在位置的期望。

无论怎么样任何一个点每次操作一定是变成\(2a_{x−1}(a_{x+1})−a_x\)
设fx表示x这个点当前的期望，假设当前点要进行依次变换，那么期望为\(\frac{1}{2}((2f_{x−1}−f_x)+(2f_{x+1}−f_x))=f_x+1+f_{x−1}−f_x\)。
好的，然后进行K轮就不会了。怎么办呢？(当然是点开题解了啊)。闲着无聊来差分一下(菊开：差分是人类智慧)，
设\(d_i=f_i−f_{i−1}\)，那么执行完一次操作之后：\(di=(f_{i−1}+f_{i+1}−f_i)−f_{i−1}=f_{i+1}−f_i\)，\(d_{i+1}=f_{i+1}−(f_{i−1}+f_{i+1}−f_i)=f_i−f_{i−1}\)。
好啊，一次操作等价于交换\(d_i,d_{i+1}\)，那么我们只要记录一下做完一轮操作之后di都到哪里去了，然后就可以倍增了。

T4

T2的逆向版
给定一个序列 2*n + 1项 还是第二大（中位数）向上传递
求最后顶端那个点的值

中位数套路操作 -> 01转换
二分一个值 序列中的每个数大于等于它为1 小于它的为0
如果有两个连续的0或1 那他们可以直接向上传递（不信你手玩一下）
位置偏中间的那组必然能撑到最后（因为到后来就是直接剪裁两端的值了，不信你手玩一下）
如果没有连续？你手玩一下就知道奇数位都一样，并且他们能撑到最后

【BZOJ5285】[HNOI2018]寻宝游戏
那么把or写成0, and写成1
那么，如果当前操作数前面的运算符和某一位上相同，那么就等价于没有进行操作，否则直接知道了运算结果。
假如只有一个二进制位的话，那么就是一个长度为n的01串x，和一个长度为n的操作串opt。设最后一位为最高位。
如果最终的结果是1，那么意味着\(x>opt\)，否则最终结果为0。可以手玩验证。

[ZJOI2018]迷宫
不会不会自闭了