AtCoder Regular Contest 061

AtCoder Regular Contest 061

C.Many Formulas

题意

• 给长度不超过\(10\)且由\(0\)到\(9\)数字组成的串S。
• 可以在两数字间放\(+\)号。
• 求所有方案的数字和。

思路

• \(2^{|S|-1}\)枚举加号的放置状态

代码

• Many Formulas

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D.Snuke's Coloring

题意

• 在一个\(H \times W(3 \le H,W \le 10^9)\)的棋盘上，有\(N(N \le 10^5)\)个格子被染成黑色，其余格子为白色。
• 求在所有\(3 \times 3\)的子矩形中黑色格子个数分别为\(0,1,...,9\)的个数。

思路

• 考虑每个黑色格子作为\(3 \times 3\)矩形中的其中一个格子，求对应矩形的黑色格子数。如果当前矩形的黑色格子数为\(x\)，则该格子会被计数\(x\)次。
• \(0\)的矩形个数由总方案减去有黑色格子的方案数。

代码

• Snuke's Coloring

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E.Snuke's Subway Trip

题意

• 一张图，有\(N(N \le 10^5)\)个点，\(M(M \le 2 \times 10^5)\)条边。
• 每条边有一种颜色\(c_i\)。
• 假设通过颜色\(i\)走到节点\(u\)，当\(u\)要走到相邻节点时，如果经过的边仍为颜色\(i\)，则费用为0，否则需要代价1。
• 求从节点1走到节点N的最小花费。

思路

• 假设与\(u\)有关的边的颜色有\(x\)种，则将点拆成\(u_{c1}, u_{c2},...,u_{cx}\)个点。
• 将点\(u\)设置成总点，与\(u_{ci}\)连边，费用为1。
• 假设\(u\)走到\(v\)，颜色为\(C\)，则\(u_C\)与\(v\)连边，费用为0；\(u_C\)与\(v_C\)连边，费用为0。
• 最后跑一遍单源最短路即可。

代码

• Snuke's Subway Trip

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F.Card Game for Three

题意

• Alice、Bob和Charlie分别有\(N,M,K(N,M,K \le 3 \times 10^5)\)张牌，每张牌有一个字母（a,b或c）。
• 三个人轮流出牌，牌上的数字代表下一个出牌的玩家。
• 若当前要出牌的玩家没有牌，则该玩家获胜。
• Alice先出牌，求在所有可能的方案中Alice获胜的方案数。

思路

• 出牌顺序看成一串abc的序列，第一个达到手牌上限的人获胜，假设Alice获胜，那么a出现了\(N+1\)次。因为Alice先手，所以第一个总是固定为a，那么去掉第一个后a出现\(N\)次。
• 考虑游戏结束时三个人共打出了\(i\)张牌，可以得到3个信息：

1. 最后一张牌必然是a；
2. b和c的出现次数不超过\(M,K\)；
3. b和c不会同时超出上限。

• 先从\(i-1\)选\(N-1\)位置放a；剩下的位置放置b和c，总方案数为\(2^{i-N}\)，考虑去掉不合法的方案，即b或c超过上限的方案数，小数据可以暴力求，对于b来说，枚举\([M+1, i-N]\)的出现次数，c同理。对于大数据来说，假设长为\(i-1\)中b不合法的方案数为\(fb\)，那么当前多了一个填充bc的位置，这个位置可以填bc，方案仍为不合法的方案，此时b的个数大于\(M+1\)，还要求b的个数刚好为\(M+1\)的不合法方案数。

代码

• Card Game for Three