Codeforces #258 Div.2 E Devu and Flowers

大致题意：

从n个盒子里面取出s多花。每一个盒子里面的花都同样，而且每一个盒子里面花的多数为f[i]，求取法总数。

解题思路：

我们知道假设n个盒子里面花的数量无限，那么取法总数为：C(s+n-1, n-1) = C(s+n-1, s)。

能够将问题抽象成：x1+x2+...+xn = s, 当中0<=xi <= f[i]。求满足条件的解的个数。

两种方法能够解决问题：

方法一：这个问题的解能够等价于：mul = (1+x+x^2+...+x^f[1])*(1+x+x^2+...+x^f[2])*...*(1+x+x^2+...+x^f[n])中x^s项的系数。而 (1+x+x^2+...+x^f[i]) = (1-x^(1+f[i]))/(1-x)，那么mul = (1-x^(1+f[1]))*(1-x^(1+f[2]))*...*(1-x^(1+f[n]))*(1-x)^(-n)。

对于 (1-x^(1+f[1]))*(1-x^(1+f[2]))*...*(1-x^(1+f[n]))这部分的系数。因为n非常小，直接暴力（2^n）枚举计算各项的系数。

对于(1-x)^(-n)的系数，(1-x)^(-n) = (1/(1-x))^n, 而1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ... + x^n + ...，无穷级数。那么(1-x)^(-n) = (1+x+x^2+...+x^m+...)^n，要求这个式子x^s项的系数，就相当于从n个盒子（花的数量无限）里面去s朵花，求取法总数。于是(1-x)^(-n)中x^s项的系数为：C(s+n-1, n-1)。

知道这两部分的系数以后问题就迎刃而解了。

方法二：容斥原理。

设A1 = {x1 >= f[1]+1}, A2 = {x2 >= f[2]+1}, ..., An = {xn >= f[n]+1}， 全集S = (n+s-1, s)。那么问题的解集为：全集减去不符合条件的解集(某个Ai为真)。 不符合条件的解集能够用容斥原理来解决。即：。

暴力枚举（2^n）Ai的状态，假设Ai为真，则s -= (f[i]+1)。那么这样的状态下，解的为题相当于从n个盒子里面取s（减去该状态下全部f[i]+1以后的值）朵花，盒子花的数目没有限制，解的个数为C(s+n-1, n-1)。