BZOJ 1426: 收集邮票 数学期望 + DP

Description

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且

买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k

张邮票需要支付k元钱。现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

Input

一行,一个数字N，  N<=10000

Output

要付出多少钱. 保留二位小数

题解：

挺神的一道期望 $DP$.

令 $f_{i}$ 表示已经有 $i$ 种不同的邮票，还需购买的期望次数.

令 $g_{i}$ 表示已经有 $i$ 种不同的邮票，还需花的期望钱数.

先考虑 $f_{i}$ 怎么求.

依据定义，不难得知 $f_{n}=0$.

而 $f_{i}=P(没抽到新的)\times 次数 + P(抽到新的)\times 次数$.

即 $f_{i}=\frac{i}{n}\times(f_{i}+1)+\frac{n-i}{n}\times(f_{i+1}+1)$.

整理，得 $f_{i}=\frac{n}{n-i}+f_{i+1}$.

再考虑 $g_{i}$

 

$g_{i}=(g_{i}+1+f_{i})\times\frac{i}{n}+(g_{i+1}+1+f_{i+1})\times\frac{n-i}{n}$.

考虑一下具体含义：

依据题目，抽到第 $k$ 张牌的代价为 $k$ 元.

总代价与抽到卡牌的顺序是无关的.

我们就可以默认当前抽到的卡牌代价是 $1$ 元，后面的卡牌依次排开.

考虑未抽到新卡牌的情况：

已经有 $i$ 种牌到终止局面的代价为 $f_{i}$，抽到当前卡牌的代价已被我们定义为 $1$. 代价是一个依次加 $1$ 的数列，等同于当前局面

到达 $f_{i}$ 后，每张卡牌的代价都要比原来多 $1$.

而根据我们定义的方程，已有 $i$ 张后，我们期望抽的次数是 $f_{i}$.

那么，对于 $f_{i}$ 张卡片，每张的价格都加 $1$ 即可.

对于 $g_{i+1}$ 的情况同理即可.

$g_{i}=(g_{i}+1+f_{i})\times\frac{i}{n}+(g_{i+1}+1+f_{i+1})\times\frac{n-i}{n}$，整理一下即可. 

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double n,f[10010],s[10010];
int main()
{
    scanf("%lf",&n);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
        s[i]=s[i+1]+n/(n-i);
        f[i]=f[i+1]+s[i+1]+s[i]*i/(n-i)+n/(n-i);
    }
    printf("%.2f",f[0]);
    return 0;
}