2018.08.31 bzoj1426 收集邮票（期望dp）

描述

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且 买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k 张邮票需要支付k元钱。现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望.

输入

一行,一个数字N,N<=10000

输出

要付出多少钱. 保留二位小数

样例输入

3

样例输出

21.25

标签

bzoj1426

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期望dp好题。

这题貌似要倒起推状态。

我们用g[i]表示已经收集i种邮票，收集全需要的期望次数。

f[i]表示已经收集i种邮票，收集全需要的期望花费。

这样发现

i的状态有i/n" role="presentation" style="position: relative;">i/ni/n的概率还是i的状态，有(n−i)/n" role="presentation" style="position: relative;">(n−i)/n(n−i)/n的概率变成(i+1)的状态（因此倒着推方便）。

于是有状态转移方程（化简后）：

g[i]=g[i+1]+n/(n−i)" role="presentation" style="position: relative;">g[i]=g[i+1]+n/(n−i)g[i]=g[i+1]+n/(n−i)

f[i]=g[i]∗(n/(n−i))+f[i+1]" role="presentation" style="position: relative;">f[i]=g[i]∗(n/(n−i))+f[i+1]f[i]=g[i]∗(n/(n−i))+f[i+1]

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 10005
using namespace std;
int n;
double f[N],g[N];
int main(){
    cin>>n,f[n]=0,g[n]=0;
    for(int i=n-1;~i;--i)g[i]=g[i+1]+1.0*n/(n-i),f[i]=1.0*n*g[i]/(n-i)+f[i+1];
    printf("%.2lf",f[0]);
    return 0;
}