[luogu] P4514 上帝造题的七分钟 (树状数组，二维差分)

P4514 上帝造题的七分钟

题目背景

裸体就意味着身体。

题目描述

“第一分钟，X说，要有矩阵，于是便有了一个里面写满了0的n×m矩阵。

第二分钟，L说，要能修改，于是便有了将左上角为(a,b)，右下角为(c,d)的一个矩形区域内的全部数字加上一个值的操作。

第三分钟，k说，要能查询，于是便有了求给定矩形区域内的全部数字和的操作。

第四分钟，彩虹喵说，要基于二叉树的数据结构，于是便有了数据范围。

第五分钟，和雪说，要有耐心，于是便有了时间限制。

第六分钟，吃钢琴男说，要省点事，于是便有了保证运算过程中及最终结果均不超过32位有符号整数类型的表示范围的限制。

第七分钟，这道题终于造完了，然而，造题的神牛们再也不想写这道题的程序了。”

——《上帝造裸题的七分钟》

所以这个神圣的任务就交给你了。

输入输出格式

输入格式：

输入数据的第一行为X n m，代表矩阵大小为n×m。

从输入数据的第二行开始到文件尾的每一行会出现以下两种操作：

• L a b c d delta —— 代表将(a,b),(c,d)为顶点的矩形区域内的所有数字加上delta。
• k a b c d —— 代表求(a,b),(c,d)为顶点的矩形区域内所有数字的和。

请注意，k为小写。

输出格式：

针对每个k操作，在单独的一行输出答案。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

X 4 4

L 1 1 3 3 2

L 2 2 4 4 1

k 2 2 3 3

输出样例#1： 复制

12

说明

对于10%的数据，1 ≤ n ≤ 16, 1 ≤ m ≤ 16, 操作不超过200个.

对于60%的数据，1 ≤ n ≤ 512, 1 ≤ m ≤ 512.

对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 2048, 1 ≤ m ≤ 2048, -500 ≤ delta ≤ 500,操作不超过200000个,保证运算过程中及最终结果均不超过32位带符号整数类型的表示范围。

by XLk

题解

想写二维线段树。

然而讨论里说卡掉了空间了。

那就硬着头皮写二维树状数组吧。

二维树状数组教做人系列。

对于一维的树状数组，我们知道区间加和区间求和是需要差分并维护两个树状数组的。（不会的可以去用树状数组写一下x谷的线段树模板1）

这个对于二维树状数组同样适用。

那么我们假设\(sum[i][j]\)为差分数组。

\(sum[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]\)。

为什么要这么假设呢？

因为这样我们可以发现

对于点\((x,y)\)的值就是

\(\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^y\sum_{h=1}^i\sum_{k=1}^j sum[h][k]\)

根据每一次的求值，我们发现以\((x,y)\)为结尾的矩阵，每个差分数组出现的次数为

\(\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^y sum[i][j]*(x-i+1)*(y-j+1)\)

是不是会发现开始变得和一维树状数组求法一样了。

接下来让我们把这个公式拆开食用。

\(\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^y sum[i][j]*(xy+x+y+1)-sum[i][j]*i(y+1)-sum[i][j]*j(x+1)+sum[i][j]*i*j\)

发现只要维护\(sum[i][j],sum[i][j]*i,sum[i][j]*j,sum[i][j]*i*j\)四个树状数组了。

好现在考虑加值。给\((2,2),(3,3)\)的矩阵加上值。

在差分数组里面就是这样的

0 0 0 0 0
0 + 0 - 0
0 0 0 0 0
0 - 0 + 0

就等于正常数组里面的

0 0 0 0 0
0 + + 0 0
0 + + 0 0
0 0 0 0 0

即在给\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)加值时。我们需要给\((x_1,y_1),(x_2+1,y_2+1)\)加，\((x_1,y_2+1),(x_2+1,y_1)\)减。

因为统计数组时，点\((i,j)\)的值为以\((i,j)\)为右下角，\((1,1)\)为左上角的差分矩阵的和。

题解

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m;
int read(){
    int x=0,w=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*w;
}

struct node{
    int t[2050][2050];
    void add(int x,int y,int v){
        for(int i=x;i<=n;i+=(i&(-i)))
            for(int j=y;j<=m;j+=(j&(-j)))
            t[i][j]+=v;
    }
    int query(int x,int y){
        int sum=0;
        for(int i=x;i;i-=(i&(-i)))
            for(int j=y;j;j-=(j&(-j)))
            sum+=t[i][j];
        return sum;
    }
}Q,Qi,Qj,Qij;

void add(int x,int y,int v){
    Q.add(x,y,v);Qi.add(x,y,v*x);
    Qj.add(x,y,v*y);Qij.add(x,y,v*x*y);
}

int query(int x,int y){
    return Q.query(x,y)*(x*y+x+y+1)-Qi.query(x,y)*(y+1)-Qj.query(x,y)*(x+1)+Qij.query(x,y);
}

int main(){
    n=read();m=read();
    char opt[10];
    while(scanf("%s",opt)==1){
        int xa=read(),ya=read(),xb=read(),yb=read();
        if(opt[0]=='L'){
            int v=read();
            add(xa,ya,v);add(xb+1,ya,-v);
            add(xb+1,yb+1,v);add(xa,yb+1,-v);
        }
        else {
            printf("%d\n",query(xb,yb)-query(xb,ya-1)-query(xa-1,yb)+query(xa-1,ya-1));
        }
    }
    return 0;
}