最近公共祖先(least common ancestors algorithm)

lca问题是最近公共祖先问题，一般是针对树结构的。
现在有两种方法来解决这样的问题

1. On-line algorithm

用比较长的时间做预处理。然后对每次询问进行回答。

思路：对于一棵树中的两个节点，假设是u和v。我们要找到他们的最近的一个祖先，那么我们可以这样找，首先判断他们是不是一辈儿的人，也就是说他们的深度是不是一样的，如果一个较深(u)，一个较浅(v)。我们可以不断的找较深的节点的祖先，直到u和v的深度一致。如果此时u和v重合了，那么u(v)就是他们的最近公共最先，如果不重合，这时，就可以同时找u和v的祖先，直到找到为止（最坏的情况是根节点）。

这个思路比较好理解，处理也很方便，在求lca之前，可以通过dfs找到所有节点的father信息和depth信息。然后就可以按照思路进行求解了。

这个问题和编程之美中的一个题目非常的类似：判断两个链表是否相交。

扩展问题是，找他们的第一个交点（假设他们相交的话）。

思路：首先能够找到两条链表的长度，这个其实是两个链表首指针的depth信息。然后判断他们的depth是否一样，如果一个深，一个浅，那么首先让他们depth相同（对于指针，只需要next就可以了），然后判断当前的两个指针是否重合，如果不重合，那么两个指针，一起next，直到找到第一个交点。

发现，这两问题惊人的相似。感叹算法的灵活性~

2. off-line algorithm

离线算法，就是把所有的询问都读取进来，在算法执行的过程中，就把所有的询问回答了。

tarjan 算法是经典的离线lca算法。

tarjan算法利用了一个用于集合操作的数据结构-并查集（union-find set or disjoint set). 不过这里这个数据结构只是辅助性的，对于理解算法并无影响，理解了算法可以在去了解并查集是怎么一回事。

tarjan算法基于这样一个规律：假设当前节点为root,root节点肯定有很多子树了（每个儿子带领一个），那么我们从最左边的子树开始研究，如果要查询的两个节点u,v都在最左子树，那么这变成了一个更小规模的问题了。如果u在最左子树，而v在其他的子树，那么lca(v,u)=father(u)了。那么如果u在最左子树的一个子树里边，那么lca(v,u) = father(father(u)). 看到这里，熟悉并查集的同学，可能就知道了这就有点象查找集合的father信息。没错，这就是tarjan算法核心思想。

再用简单的语言描述一下：当我们dfs完一个节点v的时候，可以想象，以v为根的所有节点的father全是v了，此时我们从询问中查找，有没有和v相关的询问。如果有，那么查看u是否已经访问过了，如果访问过，肯定有father信息。试想，如果u和v在一棵子树里，那么v和u的lca就是v了。如果u在之前的子树里，lca(v,u) = father(u) 或者 lca(v,u)=father(father(u)),总之就是找u所在集合的根元素了。此时此刻，基本就把算法的思想搞的很明白了。