CF1033E 题解

题意

传送门

交互题，给定一个简单连通图，你可以询问一个点集 \(s\)，返回其导出子图的边数。判断此图是否为二分图：若是，输出其中一部点的集合；否则输出任一个奇环。最多询问 \(20000\) 次。

\(1 \le n \le 600\)。

题解

对原图建立生成树，判断深度奇偶性相同的点是否有连边。

但建树的复杂度已经是 \(O(n^2)\)，且难以优化。注意到条件仅对深度有要求，那么尝试忽略树的形态，仅找出所有点的深度。

可以得出这样一个算法：先找到深度为 \(0\) 的点集（即 \(\{1\}\)），然后找出所有与其有连边的点，即为深度为 \(2\) 的点集。依次类推。

考虑一下 “找出 \(S\) 中与 \(T\) 有连边的所有点“ 的复杂度。显然有一个 \(O(|S|)\) 的做法，但不够。我们需要其与答案个数有关，便于均摊。那么考虑分治。判断 \(S\) 与 \(T\) 是否有连边，可以通过 \(ask(S\cup T)-ask(S)-ask(T)\)。

那么就通过 \(O(n\log n)\) 得出了所有点的深度。于是可以判断二分图。还有一个问题是，若不是二分图，怎么找到奇环？

不妨设 \(S\) 为所有偶深度点的集合，且 \(ask(S)>0\)。那么通过枚举所有 \(x\in S\)，可以找出一个与 \(S\setminus\{x\}\) 有连边的点。再枚举一遍，就找到一条边 \((x,y)\)。那么再找到它们到根的路径上的所有点即可，也就是找父亲。这显然可以通过二分。于是此题得解。