代数余子式的由来/代数余子式为什么-1的系数是ⁱ⁺ʲ?/证明一个n阶行列式，如果其中第i行（或第j列）所有元素除aᵢⱼ外都为零，那么这行列式等于aᵢⱼ与它的代数余子式的乘积/证明行列式按行（列）展开法则：n（n>1）阶行列式等于它任意一行（列）的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积的和。

代数余子式的由来/代数余子式为什么-1的系数是ⁱ⁺ʲ?/证明一个n阶行列式，如果其中第i行（或第j列）所有元素除aᵢⱼ外都为零，那么这行列式等于aᵢⱼ与它的代数余子式的乘积/证明行列式按行（列）展开法则：n（n>1）阶行列式等于它任意一行（列）的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积的和。

前言：重在记录，可能出错。

1. 代数余子式：(-1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ，Mᵢⱼ为余子式。当书本上第一次出现这个定义的时候，有人对这个ⁱ⁺ʲ感到疑惑，实际上，书本后面在证明引理——一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除aᵢⱼ外都为零，那么这行列式等于aᵢⱼ与它的代数余子式的乘积的时候已经给出了思路：

证：此处仅证第i行的情况，第j列情况的证明同理。

D=|a11⋮0⋮an1⋯⋱⋯⋰⋯a1j⋮aij⋮anj⋯⋰⋯⋱⋯a1n⋮0⋮ann|=(-1)i-1+n-1|aij⋯0⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮a1j⋯a11⋯a1,j-1a1,j+1⋯a1n⋮⋮⋮⋮⋮ai-1,j⋯ai-1,1⋯ai-1,j-1ai-1,j+1⋯ai-1,nai+1,j⋯ai+1,1⋯ai+1,j-1ai+1,j+1⋯ai+1,n⋮⋮⋮⋮⋮anj⋯an1⋯an,j-1an,j+1⋯ann|   ①=(-1)i+j-2aijMij=aij(-1)i+j-2Mij   任一整数±2（一个偶数）都不影响其奇偶性=aij  (-1)i+jMij  ②

2. 怎么计算①式？

采用分块法：以第一行第一列元素仍为第一行第一列元素，将原行列式分块为二阶行列式D，第一行第二列块值为0，因此，此行列式的值为第一行第一列块值乘以第二行第二列块值。

D=|aij∣0     ⋮   ∣Mij|=aij⸳Mij

3. 可见上述②式中已经出现了一个通项（代数余子式的）的身影，但是，这并不能使我们决定为它定义一个单独的名词。接下来证明行列式按行（列）展开法则：n（n>1）阶行列式等于它任意一行（列）的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积的和。

证：此处仅证按行展开的情况，按列展开情况的证明同理。

D=|a11a12⋯a1n⋮⋮⋮ai1ai2⋯ain⋮⋮⋮an1an2⋯ann|=|a11a12⋯a1n⋮⋮⋮ai1+0+⋯+00+ai2+0+⋯+0⋯0+⋯+0+ain⋮⋮⋮an1an2⋯ann|=|a11a12⋯a1n⋮⋮⋮ai10⋯0⋮⋮⋮an1an2⋯ann|+|a11a12⋯a1n⋮⋮⋮0ai2⋯0⋮⋮⋮an1an2⋯ann|+⋯+|a11a12⋯a1n⋮⋮⋮00⋯ain⋮⋮⋮an1an2⋯ann|=(-1)i-1|ai10⋯0a11a12⋯a1n⋮⋮⋮ai-1,1ai-1,2⋯ai-1,nai+1,1ai+1,2⋯ai+1,n⋮⋮⋮an1an2⋯ann|+(-1)i-1+1|ai2000a12a11a13a1nai-1,2ai-1,1ai-1,3ai-1,nai+1,2ai+1,1ai+1,3ai+1,nan2an1an3ann|+⋯+(-1)i-1+n-1|ain0⋯0a1na11⋯a1,n-1⋮⋮⋮ai-1,nai-1,1⋯ai-1,n-1ai+1,nai+1,1⋯ai+1,n-1⋮⋮⋮annan1⋯an,n-1|=(-1)i-1ai1Mi1+(-1)i-1+1ai2Mi2+⋯+(-1)i-1+n-1ainMin     这里的化简已在上面证明=∑j=1naij(-1)i+jMij

此时，最后的结果同样出现一个通项（代数余子式的）身影，并且对于所有行列式有普遍性，因此我们赋予了(-1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ一个专有名称——代数余子式（algebraic complement minor），记作Aᵢⱼ。