AT ARC092F Two Faced Edges

题意：给定一个有向图，保证无重边自环，求将图中的每条边反向后强联通分量的个数是否会改变。

数据范围：$n$ $≤$ $1e3$，$m$ $≤$ $2e5$。

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首先考虑一条边的影响。

因为一条边只能连接两个点，因此将一条边反向至多只能影响它两个端点在强联通分量里的变化，即整体增加一个强联通分量，或整体减少一个强联通分量（或整体不变）。

再考虑将这条边反向之前，两端点 $u$，$v$ 之间的联通情况。

假设这条边为 $u$ $→$ $v$，那么将这条边反向，在图中就可以看作增加一条 $v$ $→$ $u$ 的边，删掉一条 $u$ $→$ $v$ 的边。

那么在删边和添边之前，考虑 $4$ 种情况。

1. 存在一条 $u$ $→$ $v$ 的路径，且其中不包含 $u$ $→$ $v$ 这条边；存在一条 $v$ $→$ $u$ 的路径；
2. 存在一条 $u$ $→$ $v$ 的路径，且其中不包含 $u \to v$ 这条边；不存在一条 $v$ $→$ $u$ 的路径；
3. 不存在不经过 $u$ $→$ $v$ 这条边的一条 $u$ $→$ $v$ 的路径 ；存在一条 $v$ $→$ $u$ 的路径；
4. 不存在不经过 $u$ $→$ $v$ 这条边的一条 $u$ $→$ $v$ 的路径 ；不存在一条 $v$ $→$ $u$ 的路径；

稍加分析就能得出在整体增加一个强联通分量的时候，是情况 $2$；在整体减少一个强联通分量的时候，是情况 $3$。

原图中是否存在一条 $v \to u$ 的路径只需在原图中爆搜一遍即可。

考虑如何判断是否存在不经过 $u$ $→$ $v$ 这条边的一条 $u$ $→$ $v$ 的路径。

显然一个最暴力的思路就是枚举每条边，打个 $\text{tag}$ 后在图中爆搜，复杂度 $O(m^2)$。

这里复杂度爆炸的原因就是每条边的枚举，因为在图中爆搜是无法避免的，因此把枚举每条边改为枚举每个点 $a$ 试试。

$a$ 不走 $a \to b$ 这条边想要到达 $b$，只需要在不走环的情况下第一条边不走 $a \to b$ 这条边就行了，而若 $a$ 不走 $a \to b$ 这条边，那么相当于 $a$ 可以走除了 $b$ 以外的后继节点。

考虑将问题转化为 $a$ 的后继节点能够被 $a$ 的其他后继节点到达（在不在 $a$ 处走环的情况下，这个可以通过给 $a$ 打个标记等等办法特判）。

当然这个还是需要枚举 $a$ 的出边因此复杂度没有任何改进，进而考虑再将问题转化为 $a$ 的后继节点能够两两到达。

但是这个转化是不对等的，因为后者是前者的充分不必要条件，其实每个点只需要被另 $1$ 个点到达就行了。

这就转换为了一个点集中的点能否被其中的另一个点到达的问题，因此考虑用多源 $\text{bfs}$ 实现，但是因为环的缘故，每个点有可能自己到达自己，因此在被访问的时候要记录一下访问它的点集中的点是谁（这里需要记录两个），同时每个点可以两次入队。

不过由于本人常数过大的缘故，需要使用 $\text{bitset}$ 优化。

code：Submission #34083578 - AtCoder Regular Contest 092