hdu多校题解

hdu2020多校-1

J Math is Simple

给定 \(n\) ，求

\[\sum\limits_{1\le a<b\le n \\ gcd(a,b)=1 \\ a+b\ge n} \frac{1}{ab}
\]

的值，答案对 \(998244353\) 取模。

Solution

令 \(f_n = \sum\limits_{1\le a<b\le n \\ gcd(a,b)=1 \\ a+b\ge n} \frac{1}{ab}\), \(g_n = \sum\limits_{1\le a<b\le n \\ gcd(a,b)=1 \\ a+b= n} \frac{1}{ab}\)

显然有 \(g_n = \frac{1}{n} \sum_{d=1}^{n} \mu (d) \frac{1}{d} \sum_{t=1}^{\frac{n}{d}} \frac{1}{t}\)

再令 \(h_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}\) ，则有 \(g_n = \frac{1}{n} \sum_{d | n} \mu (d) \frac{1}{d} h(\frac{n}{d})\)

推导 \(f\) 和 \(g\) 的关系：

\[f_n = f_{n-1} + \sum\limits_{1\le a\le n \\ gcd(a,n) = 1}\frac{1}{an} - \sum\limits_{1\le a<b\le n \\ gcd(a,b)=1 \\ a+b=n-1} \frac{1}{ab}
\]

\[f_n = f_{n-1} + g_n - g_{n-1}
\]

\[f_n = ... = f_2 + g_n - g_2 = \frac{1}{2} + g_n
\]

hdu2018多校-5

H Hills And Valleys

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) ，你需要翻转一段区间 \([l,r]\) 来最大化序列的最长不下降子序列。

求出最长不下降子序列长度以及翻转的区间。

数据范围: \(1\le n\le 10^5, 0\le a_i\le 9\)

Solution

枚举 \([x,y]\) 表示翻转区间内产生贡献的数的值域范围，设 \(b = \{ 0...x, y...x, y...9\}\) ，然后跑 \(a\) 和 \(b\) 的 \(LCS\) 即可，这里的 \(b\) 的数可多次被覆盖。

定义 \(dp[i][j]\) 表示 \(a\) 到 \(i\) , \(b\) 到 \(j\) 的 \(LCS\) ，显然有

\[dp[i][j] = max(dp[i - 1][j] + (a[i] == b[j]), dp[i][j - 1])
\]

枚举的过程中顺带维护 翻转区间的两端点 即可。

时间复杂度: \(O(45*12*n)\) ，跑不满。