【NOI P模拟赛】华莱士CNHLS（容斥，数论分块）

题意

出题人吃华 莱 士拉肚子了，心情不好，于是出了一道题面简单的难题。

共

T

T

T 组数据，对正整数

n

n

n 求

F

(

n

)

=

∑

i

=

1

n

μ

2

(

i

)

i

F(n)=\sum_{i=1}^n \mu^2(i)i

F(n)=i=1∑n​μ2(i)i

对

2

64

2^{64}

264 取模的结果。

n

≤

1

0

14

,

T

≤

100.

n\leq 10^{14},T\leq100.

n≤1014,T≤100.

题解

莫比乌斯函数的平方，说明我们求的是

1

∼

n

1\sim n

1∼n 中所有无多个完全平方数因子的数的和。

我们用总和减去存在多个完全平方数因子的数，令

s

u

m

(

x

)

=

x

(

x

+

1

)

2

sum(x)=\frac{x(x+1)}{2}

sum(x)=2x(x+1)​，枚举最大完全平方数因子，可得

F

(

n

)

=

s

u

m

(

n

)

−

∑

j

=

2

n

j

2

F

(

⌊

n

j

2

⌋

)

F(n)=sum(n)-\sum_{j=2}^{\sqrt n}j^2F(\lfloor\frac{n}{j^2}\rfloor)

F(n)=sum(n)−j=2∑n

​​j2F(⌊j2n​⌋)

于是，我们得到一个同

M

i

n

25

Min25

Min25 筛复杂度的做法，但是过不了。

考虑到枚举最大完全平方数因子太苛刻了，我们就直接枚举完全平方数因子，然后容斥。

具体地，对于每个质数，减去该质数平方的所有倍数，在对于每两个质数，加上平方之积的所有倍数……

这其实等价于对于每个数

i

i

i ，加上

μ

(

i

)

\mu(i)

μ(i) 乘该数平方的所有倍数，于是可得

F

(

n

)

=

∑

j

=

1

n

μ

(

j

)

j

2

s

u

m

(

⌊

n

j

2

⌋

)

F(n)=\sum_{j=1}^{\sqrt n}\mu(j)j^2sum(\lfloor\frac{n}{j^2}\rfloor)

F(n)=j=1∑n

​​μ(j)j2sum(⌊j2n​⌋)

这已经是十分优秀的

O

(

T

n

)

O(T\sqrt n)

O(Tn

​) 复杂度了，但是还是过不了。

我们发现对于许多段连续的

j

j

j ，

n

j

2

\frac{n}{j^2}

j2n​ 的值是相等的，而且，对于

j

≤

n

1

3

j\leq n^{\frac{1}{3}}

j≤n31​ ，

⌊

n

j

2

⌋

\lfloor\frac{n}{j^2}\rfloor

⌊j2n​⌋ 只有

n

1

3

n^{\frac{1}{3}}

n31​ 种取值，对于

j

>

n

1

3

j>n^{\frac{1}{3}}

j>n31​ ，

⌊

n

j

2

⌋

<

n

1

3

\lfloor\frac{n}{j^2}\rfloor<n^{\frac{1}{3}}

⌊j2n​⌋<n31​，因为下取整，同样只有

n

1

3

n^{\frac{1}{3}}

n31​ 种取值。

所以我们数论分块，时间复杂度是

O

(

T

n

1

3

)

O(Tn^{\frac{1}{3}})

O(Tn31​) 。

CODE

#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<random>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 10000005
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define DB double
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define ENDL putchar('\n')
#define FI first
#define SE second
LL read() {
    LL f=1,x=0;int s = getchar();
    while(s < '0' || s > '9') {if(s<0)return -1;if(s=='-')f=-f;s = getchar();}
    while(s >= '0' && s <= '9') {x = (x<<3) + (x<<1) + (s^48); s = getchar();}
    return f*x;
}
void putpos(LL x) {if(!x)return ;putpos(x/10);putchar('0'+(x%10));}
void putnum(LL x) {
    if(!x) {putchar('0');return ;}
    if(x<0) {putchar('-');x = -x;}
    return putpos(x);
}
void AIput(LL x,int c) {putnum(x);putchar(c);}

int n,m,s,o,k;
const LL MX = 10000000;
ULL f[MAXN],mu[MAXN],su[MAXN];
int p[MAXN/2],cnt;
bool v[MAXN];
void sieve(int n) {
	f[1] = 1;mu[1] = 1;
	for(int i = 2;i <= n;i ++) {
		if(!v[i]) p[++ cnt] = i,f[i] = i,mu[i] = 0ull-1ull;
		for(int j = 1;j <= cnt && i*p[j] <= n;j ++) {
			v[i*p[j]] = 1;
			if(i % p[j] == 0) {f[i*p[j]] = 0;break;}
			f[i*p[j]] = f[i]*p[j];
			mu[i*p[j]] = 0ull-mu[i];
		}
	}
	for(int i = 2;i <= n;i ++) f[i] += f[i-1];
	for(int i = 1;i <= n;i ++) su[i] = su[i-1] + mu[i]*i*i;
	return ;
}
ULL sm(LL x) {return (x&1) ? (((x+1)>>1) * x) : ((x>>1) * (x+1));}
ULL F(LL x) {
	if(x < 1) return 0;
	if(x <= MX) return f[x];
	ULL rs = 0;
	for(LL i = 1;i*1ll*i <= x;i ++) {
		LL r = sqrt((DB)x/(x/(i*1ll*i)));
		rs += sm(x/(i*1ll*i)) * (su[r] - su[i-1]);
		i = r;
	}
	return rs;
}
int main() {
	freopen("kfc.in","r",stdin);
	freopen("kfc.out","w",stdout);
	sieve(MX);
	int T = read();
	while(T --) {
		LL N = read();
		printf("%llu\n",F(N));
	}
	return 0;
}