Front Push-Relabel Algorithm

接口定义

  • Input:容量数组vector<vector<int>> capacity ,大小为n;源点int source,汇点int sink
  • Output:最大流int maxflow

算法描述

数据结构

  • flow:n*n的二维数组,表示结点间的流量,flow[u][v]非零当且仅当capacity[u][v]非零。
  • excess:n维数组,表示结点的溢出流量。
  • height:n维数组,表示结点的高度。
  • L:除去源点和汇点后,其余结点组成的链表,遍历此链表进行discharge操作。
  • current:n维数组,表示结点u当前考虑推送的相邻结点。

算法步骤

初始化

源点高度设置为n,其余结点必须先尝试推送到所有其他结点,还有溢出的流才能将流返还源点。初始化链表L。遍历源点的所有相邻边,填满这些边的流量,并设置相邻结点的溢流。

// initialize data structure
int n = capacity.size();
vector<vector<int>> flow(n, vector<int>(n, 0));
vector<int> excess(n, 0);
vector<int> height(n, 0);
height[source] = n;
list<int> L;
for (int u = 0; u < n; u++) {
if (u != source && u != sink) {
L.push_back(u);
}
}
vector<int> current(n, 0);
// initialize perflow
for (int v = 0; v < n; v++) {
if (capacity[source][v] > 0) {
flow[source][v] = capacity[source][v];
excess[v] = capacity[source][v];
excess[source] -= capacity[source][v];
}
}

push操作

仅当结点u存在溢流,边(u,v)存在残留容量,且u的高度恰好比v的高度大1时(符合这一条件的边称为许可边),将多余流量尽可能从u推送到v。注意残留容量residual定义为:

  1. (u,v)是流网络的边,即容量非零,则等于剩余容量C[u][v] - F[u][v]
  2. 否则,等于反向流量F[v][u],表示允许将溢流倒回,降低边(v,u)的流量;

因此,除了修改两个结点的溢流外,还需分上面的两种情况修改边的流量。

void push(vector<vector<int>>& C, vector<vector<int>>& F, vector<int>& E, int u, int v) {
int residual = C[u][v] > 0 ? C[u][v] - F[u][v] : F[v][u];
int delta = min(E[u], residual);
E[u] -= delta;
E[v] += delta;
if (C[u][v] > 0) {
F[u][v] += delta;
}
else {
F[v][u] -= delta;
}
}

relabel操作

仅当结点u存在溢流,其不存在许可边。则将u的高度设置为其最低的存在残留容量的相邻结点的高度加1,使得它们之间的边成为许可边。

void relabel(vector<vector<int>>& C, vector<vector<int>>& F, vector<int>& H, int u) {
int min_height = INT_MAX;
for (int v = 0; v < C.size(); v++) {
int residual = C[u][v] > 0 ? C[u][v] - F[u][v] : F[v][u];
if (residual > 0) {
min_height = min(min_height, H[v]);
}
}
H[u] = min_height + 1;
}

discharge操作

反复尝试将结点u的溢流推送出去,直到结点u不存在溢流。使用current数组存储当前u考虑推送的目标,如果目标不可推送(非许可边),则考虑下一个邻接点。如果所有邻接点均尝试过且溢流仍然非零,则relabel,并重新将current指向头部。如果成功推送则不动current

void discharge(vector<vector<int>>& C, vector<vector<int>>& F, vector<int>& E, vector<int>& H, vector<int>& current, int u) {
while (E[u] > 0) {
int v = current[u];
if (v >= C.size()) {
relabel(C, F, H, u);
current[u] = 0;
}
else {
int residual = C[u][v] > 0 ? C[u][v] - F[u][v] : F[v][u];
if (residual > 0 && H[u] == H[v] + 1) {
push(C, F, E, u, v);
}
else {
current[u]++;
}
}
}
}

算法主体

从链表L的头部开始discharge结点,如果将结点的溢流释放后高度发生了变化,则需要重新将结点放到表头并遍历其余结点进行释放。实际上这是为了保证链表中结点u之前的结点不存在溢流(relabel以后可能会将流倒回之前的结点),这样算法结束时链表中所有结点均不存在溢流。

结束时,源点的溢流应该等于最大流的相反数,这是因为源点没有流入只有流出,而流出的流量之和就等于最大流。

int getMaxFlow(vector<vector<int>> capacity, int source, int sink) {
// initialize data structure
int n = capacity.size();
vector<vector<int>> flow(n, vector<int>(n, 0));
vector<int> excess(n, 0);
vector<int> height(n, 0);
height[source] = n;
list<int> L;
for (int u = 0; u < n; u++) {
if (u != source && u != sink) {
L.push_back(u);
}
}
vector<int> current(n, 0);
// initialize perflow
for (int v = 0; v < n; v++) {
if (capacity[source][v] > 0) {
flow[source][v] = capacity[source][v];
excess[v] = capacity[source][v];
excess[source] -= capacity[source][v];
}
}
// relabel to front
auto u = L.begin();
while (u != L.end()) {
int old_height = height[*u];
discharge(capacity, flow, excess, height, current, *u);
if (height[*u] > old_height) {
int tmp = *u;
L.erase(u);
L.push_front(tmp);
u = L.begin();
}
u++;
}
// compute max flow
return -excess[source];
}

优化写法

可以简化residual的计算,允许数组flow存在负值,用来表示反向流量,这样残留容量residual可以统一成一个表达式:residual = C[u][v] - F[u][v]。相应的需要修改push操作,将ifelse去掉,增加当前方向的流量的同时,将反向流量减少,从而同时更新了反向边。

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