2003年NOIP普及组复赛题解

题目涉及算法：

• 乒乓球：简单字符串模拟；
• 数字游戏：区间DP；
• 栈：卡特兰数
• 麦森数：高精度、快速幂、数学。

乒乓球

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1042

这道题目是一道较为繁琐的字符串模拟，有点烦但是并不难。

我的代码的思想是将到‘E’为止的输入全部存到一个字符串中，然后遍历字符串，用win_point来存放赢的分数，用lose_point来存放对手赢的分数，如果满足条件 (win_point>=11 || lose_point>=11) && abs(win_point-lose-point)>=2 ，则说明一局结束了（21分制同理）。

这里需要注意的一点是：我最后还是需要输出当前这一句目前的比分（是‘0:0’也要输出）。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[1000000], c;
int n, win_point, lost_point;
int main() {
    while ((c = getchar()) != 'E') {
        if (c == 'W' || c == 'L') s[n++] = c;
    }
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        s[i] == 'W' ? win_point ++ : lost_point ++;
        if ((win_point >= 11 || lost_point >= 11) && abs(win_point-lost_point) >= 2) {
            cout << win_point << ":" << lost_point << endl;
            win_point = lost_point = 0;
        }
    }
    cout << win_point << ":" << lost_point << endl;
    cout << endl;
    win_point = lost_point = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        s[i] == 'W' ? win_point ++ : lost_point ++;
        if ((win_point >= 21 || lost_point >= 21) && abs(win_point-lost_point) >= 2) {
            cout << win_point << ":" << lost_point << endl;
            win_point = lost_point = 0;
        }
    }
    cout << win_point << ":" << lost_point << endl;
    return 0;
}

数字游戏

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1043

这道题目涉及知识点：区间DP。

这里面涉及一个环，但是我们可以拆开这个环。

我们假设输入的是 \(a_1 , \dots , a_n\) ，那么我们可以

• 令 \(sum[i]\) 表示 \(a_1 + \dots + a_i\)
• 令 \(maxv[i][j][k]\) 表示区间 \([i,j]\) 范围分成 \(k\) 份能够获得的最大乘积；
• 令 \(maxv[i][j][k]\) 表示区间 \([i,j]\) 范围分成 \(k\) 份能够获得的最大乘积

可以得到状态转移方程如下：

\(maxv[i][j][k] = max(maxv[i][j][k], maxv[i][l][k-1] * get_mod(sum[j]-sum[l]) )\)

\(minv[i][j][k] = min(minv[i][j][k], minv[i][l][k-1] * get_mod(sum[j]-sum[l]) )\)

其中，\(get_mod(a)\) 用于获得 \(a \mod 10\) 的结果。

然后：

最大值就是 \(maxv[1][n][m]\) 和所有满足条件的 \(maxv[i][j][m-1] * get_mod(sum[i-1] + sum[n] - sum[j])\) 中的最大值；

最小值就是 \(minv[1][n][m]\) 和所有满足条件的 \(minv[i][j][m-1] * get_mod(sum[i-1] + sum[n] - sum[j])\) 中的最小值。

这样就解决了环的问题，因为最外面的环肯定最多只占一段。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 55;
int n, m, a[maxn], sum[maxn];
long long maxv[maxn][maxn][10], minv[maxn][maxn][10], max_ans, min_ans;
long long get_mod(long long a) {
    return (a % 10 + 10) % 10;
}
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        sum[i] = sum[i-1] + a[i];
    }
    if (m == 1) {
        cout << get_mod(sum[n]) << endl;
        cout << get_mod(sum[n]) << endl;
        return 0;
    }
    for (int k = 1; k <= m; k ++) {
        for (int i = 1; i+k-1 <= n; i ++) {
            for (int j = i+k-1; j <= n; j ++) {
                if (k == 1) {
                    maxv[i][j][k] = get_mod(sum[j] - sum[i-1]);
                    minv[i][j][k] = get_mod(sum[j] - sum[i-1]);
                }
                else { // k > 1
                    for (int l = i+k-2; l < j; l ++) {
                        maxv[i][j][k] = max(maxv[i][j][k], maxv[i][l][k-1] * get_mod(sum[j]-sum[l]) );
                        minv[i][j][k] = min(minv[i][j][k], minv[i][l][k-1] * get_mod(sum[j]-sum[l]) );
                    }
                }
            }
        }
    }
    max_ans = maxv[1][n][m];
    min_ans = minv[1][n][m];
    for (int i = 1; i <= n-m+1; i ++) {
        for (int j = i+m-2; j <= n; j ++) {
            max_ans = max(max_ans, maxv[i][j][m-1] * get_mod(sum[i-1] + sum[n] - sum[j]) );
            min_ans = min(max_ans, minv[i][j][m-1] * get_mod(sum[i-1] + sum[n] - sum[j]) );
        }
    }
    cout << min_ans << endl;
    cout << max_ans << endl;
    return 0;
}

栈

题目描述：https://www.luogu.org/problem/P1044

这道题目就是一道“卡特兰数”，我时直接套公式做的（当然也有递推公式），公式如下：

\(Ci = \frac1{n+1}C_{2n}^n\)

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long long m1 = 1, m2 = 1, tmp;
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = n; i >= 1; i --) {
        m1 *= i+n;
        m2 *= i;
        tmp = __gcd(m1, m2);
        m1 /= tmp;
        m2 /= tmp;
    }
    m1 /= n+1;
    cout << m1 << endl;
    return 0;
}

麦森数

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1045

这道题目一眼看过去就是高精度+快速幂。

这里有一个优化，就是长度，因为是2进制的P位数，并且它在十进制下不会是连续的全都是 \(9\) ，所以 \(2^P-1\) 肯定和 \(2^P\) 具有相同的位数。

所以长度可以直接通过公式 \(\lceil P \times \frac{\log 2}{\log 10} \rceil\) 获得。

然后最暴力的快速幂高精度幂是会超时的，但是如果我们在运算过程中保证因数的长补不超过500（截取末尾500位），就不会超时。

（然后我因为年纪比较大了，所以高精度运算直接搬了我之前写的模板囧~ 所以大家还是只看主函数就好了， multi 函数就是高精度乘， Sub函数就是高精度减）

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 10000010;

int a[maxn], b[maxn], res[maxn];

string add(string s1, string s2) {  // under condition: s1,s2>=0
    // 初始化部分
    int n = s1.length(), m = s2.length();
    for (int i = 0; i < n; i ++) a[i] = s1[n-1-i] - '0';
    for (int i = 0; i < m; i ++) b[i] = s2[m-1-i] - '0';
    int len = max(n, m) + 1;
    for (int i = n; i < len; i ++) a[i] = 0;
    for (int i = m; i < len; i ++) b[i] = 0;
    for (int i = 0; i < len; i ++) res[i] = 0;
    // 处理部分
    for (int i = 0; i < len; i ++) {
        res[i] += a[i] + b[i];
        if (res[i] >= 10) {
            res[i+1] += res[i] / 10;
            res[i] %= 10;
        }
    }
    // 返回部分
    int i = len-1;
    while (res[i] == 0 && i > 0) i --;
    string s = "";
    for (; i >= 0; i --) {
        char c = (char) (res[i] + '0');
        s += c;
    }
    return s;
}

string sub(string s1, string s2) {  // under condition: s1>=s2>=0
    // 初始化部分
    int n = s1.length(), m = s2.length();
    for (int i = 0; i < n; i ++) a[i] = s1[n-1-i] - '0';
    for (int i = 0; i < m; i ++) b[i] = s2[m-1-i] - '0';
    int len = max(n, m);
    for (int i = n; i < len; i ++) a[i] = 0;
    for (int i = m; i < len; i ++) b[i] = 0;
    for (int i = 0; i < len; i ++) res[i] = 0;
    // 处理部分
    for (int i = 0; i < len; i ++) {
        res[i] += a[i] - b[i];
        if (res[i] < 0) {
            res[i+1] --;
            res[i] += 10;
        }
    }
    // 返回部分
    int i = len-1;
    while (res[i] == 0 && i > 0) i --;
    string s = "";
    for (; i >= 0; i --) {
        char c = (char) (res[i] + '0');
        s += c;
    }
    return s;
}

bool cmp(string s1, string s2) {    // under condition: s1,s2 >= 0
    int n = s1.length(), m = s2.length();
    int i;
    for (i = 0; i < n-1 && s1[i] == '0'; i ++);
    s1 = s1.substr(i);
    for (i = 0; i < m-1 && s2[i] == '0'; i ++);
    s2 = s2.substr(i);
    if (s1.length() != s2.length()) return s1.length() < s2.length();
    return s1 < s2;
}

string Add(string s1, string s2) {
    if (s1[0] == '-' && s2[0] == '-') {
        return "-" + add(s1.substr(1), s2.substr(1));
    }
    else if (s1[0] == '-') {
        s1 = s1.substr(1);
        if (cmp(s1, s2) == true) {
            return sub(s2, s1);
        } else {
            return "-" + sub(s1, s2);
        }
    }
    else if (s2[0] == '-') {
        s2 = s2.substr(1);
        if (cmp(s1, s2) == true) {
            return "-" + sub(s2, s1);
        } else {
            return sub(s1, s2);
        }
    }
    else {
        return add(s1, s2);
    }
}

string Sub(string s1, string s2) {
    if (s2[0] == '-') {
        s2 = s2.substr(1);
        return Add(s1, s2);
    }
    else {
        return Add(s1, "-" + s2);
    }
}

string multi(string s1, string s2) {    // under condition: s1,s2>=0
    // 初始化部分
    int n = s1.length(), m = s2.length();
    for (int i = 0; i < n; i ++) a[i] = s1[n-1-i] - '0';
    for (int i = 0; i < m; i ++) b[i] = s2[m-1-i] - '0';
    int len = n + m;
    for (int i = n; i < len; i ++) a[i] = 0;
    for (int i = m; i < len; i ++) b[i] = 0;
    for (int i = 0; i < len; i ++) res[i] = 0;
    // 处理部分
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        for (int j = 0; j < m; j ++)
            res[i+j] += a[i] * b[j];
    for (int i = 0; i < len; i ++) {
        res[i+1] += res[i] / 10;
        res[i] %= 10;
    }
    // 返回部分
    int i = len-1;
    while (res[i] == 0 && i > 0) i --;
    string s = "";
    for (; i >= 0; i --) {
        char c = (char) (res[i] + '0');
        s += c;
    }
    return s;
}

pair<string, string> divide(string s1, string s2) { // under condition: s1>=0,s2>0
    string s = "", t = "";
    int n = s1.length(), m = s2.length();
    bool flag = false;
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        s += s1[i];
        int num = 0;
        while (cmp(s, s2) == false) {
            num ++;
            s = sub(s, s2);
        }
        if (num > 0) {
            flag = true;
            char c = (char)(num + '0');
            t += c;
        }
        else if (flag) {
            t += '0';
        }
    }
    if (t.length() == 0) t = "0";
    while (s[0] == '0' && s.length() > 1) s = s.substr(1);
    return make_pair(t, s);
}

string s = "2", t = "1", ans = "";
int P;

int main() {
    cin >> P;
    int ans_len = ceil(P * log(2) / log(10));
    cout << ans_len << endl;
    while (P > 1) {
        if (P % 2) {
            t = multi(t, s);
            if (t.length() > 500) t = t.substr(t.length()-500, 500);
        }
        s = multi(s, s);
        if (s.length() > 500) s = s.substr(s.length()-500, 500);
        P /= 2;
    }
    s = multi(s, t);
    s = Sub(s, "1");
    int len = s.length();
    if (len <= 500) for (int i = 0; i < 500 - len; i ++) ans += "0";
    if (len <= 500)
        ans += s;
    else
        ans = s.substr(len-500, 500);
    for (int i = 0; i < 10; i ++) cout << ans.substr(i*50, 50) << endl;
    return 0;
}