P4491 [HAOI2018]染色

题目链接：洛谷

题目大意：$n$个位置染$m$种颜色，如果出现次数恰为$S$次的颜色有$k$种，则对答案有$W_k$的贡献，求所有染色方案的答案之和$\bmod 1004535809$。

数据范围：$n\leq 10^7,m\leq 10^5,S\leq 150,0\leq W_i\leq 1004535808$

首先是要推式子的。

首先我们知道，出现次数恰为$S$次的至多$up=\min(m,\frac{n}{S})$种。

设恰好出现$S$次的颜色至少$i$种，则

$$f_i=C_m^i*\frac{n!}{(S!)^i(n-iS)!}*(m-i)^{n-iS}$$

这三项分别是选$i$种颜色，对现在这$i+1$种颜色（选定的$i$种和未染色的）做可重集排列，对剩下的$n-iS$个位置任意染色。

然后用容斥原理就可以得出，恰好出现$S$次的颜色正好$i$种的方案数

$$ans_i=\sum_{j=i}^{up}(-1)^{j-i}C_j^if_j$$

所以

$$\frac{ans_i}{i!}=\sum_{j=i}^{up}\frac{(-1)^{j-i}}{(j-i)!}*\frac{f_j}{j!}$$

如果你不知道如何做，把第一个数组先反转再向右平移$up$位，再把计算后的$ans_i$左移$up$位就可以了。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define Rint register int
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int N = , G = , Gi = , mod = ;
 int n, m, s, up, W[N], fac[], inv[], f[N], g[N], ans;
 inline int kasumi(int a, int b){
     int res = ;
     while(b){
         if(b & ) res = (LL) res * a % mod;
         a = (LL) a * a % mod;
         b >>= ;
     }
     return res;
 }
 inline void init(){
     fac[] = ;
     for(Rint i = ;i <= ;i ++) fac[i] = (LL) i * fac[i - ] % mod;
     inv[] = inv[] = ;
     for(Rint i = ;i <= ;i ++) inv[i] = (LL) inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;
     for(Rint i = ;i <= ;i ++) inv[i] = (LL) inv[i] * inv[i - ] % mod;
 }
 inline int C(int n, int m){
     if(n < m) return ;
     return (LL) fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
 }
 int rev[N];
 inline void NTT(int *A, int limit, int type){
     for(Rint i = ;i < limit;i ++)
         if(i < rev[i]) swap(A[i], A[rev[i]]);
     for(Rint mid = ;mid < limit;mid <<= ){
         int Wn = kasumi(type ==  ? G : Gi, (mod - ) / (mid << ));
         for(Rint j = ;j < limit;j += mid << ){
             int w = ;
             for(Rint k = ;k < mid;k ++, w = (LL) w * Wn % mod){
                 int x = A[j + k], y = (LL) w * A[j + k + mid] % mod;
                 A[j + k] = (x + y) % mod;
                 A[j + k + mid] = (x - y + mod) % mod;
             }
         }
     }
     if(type == -){
         int inv = kasumi(limit, mod - );
         for(Rint i = ;i < limit;i ++) A[i] = (LL) A[i] * inv % mod;
     }
 }
 int main(){
     scanf("%d%d%d", &n, &m, &s);
     for(Rint i = ;i <= m;i ++) scanf("%d", W + i);
     init(); up = min(m, n / s);
     for(Rint i = ;i <= up;i ++)
         f[i] = (LL) C(m, i) * fac[i] % mod * fac[n] % mod * kasumi(inv[s], i) % mod * inv[n - i * s] % mod * kasumi(m - i, n - i * s) % mod;
     for(Rint i = ;i <= up;i ++)
         g[i] = ((up - i) & ) ? (mod - inv[up - i]) : inv[up - i];
     int limit = , L = -;
     while(limit <= (up << )){limit <<= ; ++ L;}
     for(Rint i = ;i < limit;i ++)
         rev[i] = (rev[i >> ] >> ) | ((i & ) << L);
     NTT(f, limit, ); NTT(g, limit, );
     for(Rint i = ;i < limit;i ++) f[i] = (LL) f[i] * g[i] % mod;
     NTT(f, limit, -);
     for(Rint i = ;i <= up;i ++)
         ans = (ans + (LL) W[i] * f[up + i] % mod * inv[i] % mod) % mod;
     printf("%d\n", ans);
 }

luogu4491