ACM 矩阵题目整理
先从最基础的矩阵快速幂加速递推开始。
HDU 1005 Number Sequence
|f[n-2],f[n-1]|* |0 B| =|f[n-1], B*f[n-2]+A*f[n-1]|=|f[n-1],f[n]|
|1 A|
建立矩阵如上然后利用快速幂求解即可。答案是mat[0][1]。
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<set>
#include<string>
#define INF 1000000005
#define LL long long
using namespace std;
;
struct Matrix
{
int n,m;
int a[MAXN][MAXN];
,)
{
n=x;
m=y;
memset(a,,sizeof(a));
}
Matrix operator * (const Matrix &b)const
{
Matrix tmp;
tmp.clear(n,b.m);
; i<n; ++i)
; j<b.m; ++j)
; k<m; ++k)
{
tmp.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j];
tmp.a[i][j]%=;
}
return tmp;
}
};
Matrix quickPow(Matrix mat,int n)
{
Matrix res;
res.clear(,);
res.a[][]=res.a[][]=;
while(n)
{
) res=res*mat;
mat=mat*mat;
n=n>>;
}
return res;
}
int main()
{
int A,B,n;
while(scanf("%d%d%d",&A,&B,&n)!=EOF)
{
if(!A&&!B&&!n) break;
||n==)
{
puts(");
continue;
}
Matrix mat;
mat.clear(,);
mat.a[][]=;
mat.a[][]=B;
mat.a[][]=;
mat.a[][]=A;
Matrix f;
f.clear(,);
f.a[][]=;
f.a[][]=;
n-=;
Matrix s=f*quickPow(mat,n);
printf(][])%);
}
;
}
HDU 4920 Matrix multiplication
矩阵乘法，直接算会超时。由于是模3，所以0很多，也就是稀疏矩阵。可以优化。
参见下文：http://www.cnblogs.com/jackiesteed/articles/2021604.html
#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<string>
#define LL long long
using namespace std;
][],B[][];
][];
int n;
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
; i<=n; ++i)
; j<=n; ++j)
{
scanf("%d",&A[i][j]);
A[i][j]%=;
}
; i<=n; ++i)
; j<=n; ++j)
{
scanf("%d",&B[i][j]);
B[i][j]%=;
}
memset(C,,sizeof(C));
; i<=n; ++i)
; j<=n; ++j)
{
) continue;
; k<=n; ++k)
C[i][k]+=A[i][j]*B[j][k];
}
; i<=n; ++i)
{
; j<=n; ++j)
) printf();
);
printf("\n");
}
}
;
}
HDU 1575 Tr A
求矩阵的迹。直接快速幂即可。
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<set>
#include<string>
#define INF 1000000005
#define LL long long
using namespace std;
;
struct Matrix
{
int n,m;
int a[MAXN][MAXN];
,)
{
n=x;
m=y;
memset(a,,sizeof(a));
}
Matrix operator * (const Matrix &b)const
{
Matrix tmp;
tmp.clear(n,b.m);
; i<n; ++i)
; j<b.m; ++j)
{
; k<b.m; ++k)
{
==a[i][j]) continue;//优化！
tmp.a[i][k]+=a[i][j]*b.a[j][k];
tmp.a[i][k]%=;
}
}
return tmp;
}
void setOne(int x)
{
clear(x,x);
; i<x; ++i)
a[i][i]=;
}
};
Matrix one;
Matrix quickPow(Matrix mat,int n)
{
Matrix res=one;
while(n)
{
) res=res*mat;
mat=mat*mat;
n=n>>;
}
return res;
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
int n,k;
scanf("%d%d",&n,&k);
one.setOne(n);
Matrix mat;
mat.clear(n,n);
;i<n;++i)
;j<n;++j)
scanf("%d",&mat.a[i][j]);
mat=quickPow(mat,k);
;
;i<n;++i)
{
ans+=mat.a[i][i];
ans%=;
}
printf("%d\n",ans);
}
;
}
HDU 1757 A Simple Math Problem
一个简单的递推，建立矩阵后，快速幂。
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<set>
#include<string>
#define INF 1000000005
#define LL long long
using namespace std;
;
int M;
struct Matrix
{
int n,m;
int a[MAXN][MAXN];
,)
{
n=x;
m=y;
memset(a,,sizeof(a));
}
Matrix operator * (const Matrix &b)const
{
Matrix tmp;
tmp.clear(n,b.m);
; i<n; ++i)
; j<b.m; ++j)
{
; k<b.m; ++k)
{
==a[i][j]) continue;//优化！
tmp.a[i][k]+=a[i][j]*b.a[j][k];
tmp.a[i][k]%=M;
}
}
return tmp;
}
void setOne(int x)
{
clear(x,x);
; i<x; ++i)
a[i][i]=;
}
};
Matrix one;
Matrix quickPow(Matrix mat,int n)
{
Matrix res=one;
while(n)
{
) res=res*mat;
mat=mat*mat;
n=n>>;
}
return res;
}
int main()
{
int k;
one.setOne();
while(scanf("%d%d",&k,&M)!=EOF)
{
Matrix mat;
mat.clear(,);
; i<; ++i)
mat.a[i+][i]=;
; i<; ++i)
scanf(-i][]);
) printf("%d\n",k%M);
else
{
Matrix f;
f.clear(,);
; i<; ++i)
f.a[][i]=i;
k-=;
f=f*quickPow(mat,k);
printf(][]);
}
}
;
}
UVa 10870 Recurrences
与上面类型相似的题，建立矩阵，再快速幂加速。注意会超int。
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<set>
#include<string>
#define INF 1000000005
#define LL long long
using namespace std;
;
int M;
struct Matrix
{
int n,m;
LL a[MAXN][MAXN];
,)
{
n=x;
m=y;
memset(a,,sizeof(a));
}
Matrix operator * (const Matrix &b)const
{
Matrix tmp;
tmp.clear(n,b.m);
; i<n; ++i)
; j<b.m; ++j)
{
; k<b.m; ++k)
{
==a[i][j]) continue;//优化！
tmp.a[i][k]+=a[i][j]*b.a[j][k];
tmp.a[i][k]%=M;
}
}
return tmp;
}
void setOne(int x)
{
clear(x,x);
; i<x; ++i)
a[i][i]=;
}
};
Matrix one;
Matrix quickPow(Matrix mat,LL n)
{
Matrix res=one;
while(n)
{
) res=res*mat;
mat=mat*mat;
n=n>>;
}
return res;
}
int main()
{
int d,n;
while(scanf("%d%d%d",&d,&n,&M)!=EOF)
{
if(!d&&!n&&!M) break;
one.setOne(d);
Matrix mat;
mat.clear(d,d);
; i<d; ++i)
mat.a[i+][i]=;
; i<d; ++i)
scanf(-i][d-]);
Matrix f;
f.clear(,d);
; i<d; ++i)
scanf(][i]);
if(n<=d)
printf(][n-]%M);
else
{
n-=d;
f=f*quickPow(mat,n);
printf(][d-]%M);
}
}
;
}
POJ 3734 Blocks
递推+矩阵快速幂。
设计状态的时候要考虑所有可能的情况，保证无重复无遗漏，再考虑转移。最后用矩阵加速。
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<set>
#include<string>
#define INF 1000000005
#define LL long long
using namespace std;
;
;
struct Matrix
{
int n,m;
int a[MAXN][MAXN];
Matrix(,):n(x),m(y)
{
memset(a,,sizeof(a));
}
,)
{
n=x;
m=y;
memset(a,,sizeof(a));
}
Matrix operator * (const Matrix &b)const
{
Matrix tmp;
tmp.clear(n,b.m);
; i<n; ++i)
; j<b.m; ++j)
{
; k<b.m; ++k)
{
==a[i][j]) continue;//ÓÅ»¯£¡
tmp.a[i][k]+=a[i][j]*b.a[j][k];
tmp.a[i][k]%=M;
}
}
return tmp;
}
void setOne(int x)
{
clear(x,x);
; i<x; ++i)
a[i][i]=;
}
};
Matrix one;
Matrix quickPow(Matrix mat,int n)
{
Matrix res=one;
while(n)
{
) res=res*mat;
mat=mat*mat;
n=n>>;
}
return res;
}
int main()
{
one.setOne();
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int n;
scanf("%d",&n);
Matrix mat(,);
mat.a[][]=,mat.a[][]=,mat.a[][]=;
mat.a[][]=,mat.a[][]=,mat.a[][]=;
mat.a[][]=,mat.a[][]=,mat.a[][]=;
Matrix f(,);
f.a[][]=;
Matrix ans=f*quickPow(mat,n);
printf(][]);
}
;
}
POJ 3420 Quad Tiling
这个题的关键是在求递推式。
设dp[i]表示填满前i个方块的种数。那么从dp[i-1]转移有1种情况，从dp[i-2]转移有4种情况，在之后从dp[i-a]，如果a是奇数有2种情况，a是偶数有3种情况。
这样最终化简得dp[i]=dp[i-1]+5dp[i-2]+dp[i-3]-dp[i-4]
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<set>
#include<string>
#define INF 1000000005
#define LL long long
using namespace std;
;
int M;
struct Matrix
{
int n,m;
int a[MAXN][MAXN];
Matrix(,):n(x),m(y)
{
memset(a,,sizeof(a));
}
,)
{
n=x;
m=y;
memset(a,,sizeof(a));
}
Matrix operator * (const Matrix &b)const
{
Matrix tmp;
tmp.clear(n,b.m);
; i<n; ++i)
; j<b.m; ++j)
{
; k<b.m; ++k)
{
==a[i][j]) continue;//优化
tmp.a[i][k]+=a[i][j]*b.a[j][k];
tmp.a[i][k]%=M;
}
}
return tmp;
}
void setOne(int x)
{
clear(x,x);
; i<x; ++i)
a[i][i]=;
}
};
Matrix one;
Matrix quickPow(Matrix mat,int n)
{
Matrix res=one;
)
{
) res=res*mat;
mat=mat*mat;
n=n>>;
}
return res;
}
int main()
{
int n;
one.setOne();
while(scanf("%d%d",&n,&M)!=EOF)
{
if(!n&&!M) break;
Matrix mat(,);
; i<; ++i)
mat.a[i+][i]=;
mat.a[][]=-,mat.a[][]=,mat.a[][]=,mat.a[][]=;
Matrix f(,);
f.a[][]=,f.a[][]=,f.a[][]=,f.a[][]=;
) printf(][n]%M);
else
{
n-=;
Matrix s=f*quickPow(mat,n);
printf(][]);
}
}
;
}
ZOJ 3690 Choosing number
a[i]表示第i个人选小于等于k的数字的合法种数，a[i]=(k-1)*a[i]+k*b[i]
b[i]表示第i个人选大于等于k的数字的合法种数，b[i]=(m-k)*a[i]+(m-k)*b[i]
a[0]=0,b[0]=1,答案是a[n]+b[n]
建立矩阵快速幂计算即可。
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<set>
#include<string>
#define INF 1000000005
#define LL long long
using namespace std;
;
;
struct Matrix
{
int n,m;
LL a[MAXN][MAXN];
Matrix(,):n(x),m(y)
{
memset(a,,sizeof(a));
}
,)
{
n=x;
m=y;
memset(a,,sizeof(a));
}
Matrix operator * (const Matrix &b)const
{
Matrix tmp;
tmp.clear(n,b.m);
; i<n; ++i)
; j<m; ++j)
{
; k<b.m; ++k)
{
==a[i][j]) continue;//优化！
tmp.a[i][k]+=a[i][j]*b.a[j][k];
tmp.a[i][k]%=M;
}
}
return tmp;
}
void setOne(int x)
{
clear(x,x);
; i<x; ++i)
a[i][i]=;
}
};
Matrix one;
Matrix quickPow(Matrix mat,int n)
{
Matrix res=one;
while(n)
{
) res=res*mat;
mat=mat*mat;
n=n>>;
}
return res;
}
int main()
{
int n,m,k;
one.setOne();
while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)!=EOF)
{
Matrix mat(,);
mat.a[][]=k-,mat.a[][]=k;
mat.a[][]=m-k,mat.a[][]=m-k;
Matrix f(,);
f.a[][]=,f.a[][]=;
Matrix s=quickPow(mat,n)*f;
printf(][]+s.a[][])%M);
}
;
}
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