3122: [Sdoi2013]随机数生成器

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Description

Input

输入含有多组数据,第一行一个正整数T,表示这个测试点内的数据组数。 

 
接下来T行,每行有五个整数p,a,b,X1,t,表示一组数据。保证X1和t都是合法的页码。

注意:P一定为质数

Output

共T行,每行一个整数表示他最早读到第t页是哪一天。如果他永远不会读到第t页,输出-1。

Sample Input

3
7 1 1 3 3
7 2 2 2 0
7 2 2
2 1

Sample Output

1
3
-1

HINT

0<=a<=P-1,0<=b<=P-1,2<=P<=10^9

Source

Solution

不错的题

对于题目中给出的式子,我们尝试的得出$X_{n}$关于$X_{1}$的式子

显然暴力带是不能得到的,考虑对原始式子进行变形:首先同余方程式左右是可以同时+—*/的毫无问题,那么我们对式子如下变化:

$X_{i+1}\equiv aX_{i}+b (mod p)$

==>$X_{i+1}+\frac{b}{a-1}\equiv aX_{i}+b+\frac{b}{a-1} (mod p)$
==>$X_{i+1}+\frac{b}{a-1}\equiv a(X_{i}+\frac{b}{a-1}) (mod p)$

那么我们显然能够用$X_{1}$表示$X_{n}$,层层带入得

$X_{n}+\frac{b}{a-1}\equiv a^{n-1}(X_{1}+\frac{b}{a-1}) (mod p)$

然后在模意义下,我们使用逆元计算,这样的话,利用BSGS算法求解即可

这里有些需要特判掉的情况:

1° $X_{1}=t$ 显然ans=1

2° $a==0$ 显然得到$X_{n}\equiv b(mod p)$ 那么$b=t$时 ans=2 否则 ans=-1

3° $a==1$ 显然得到$X_{n}\equiv X_{1}+(n-1)b(mod p)$ 这样显然可以用ExGCD求解

Code

(感觉这是这道题最短的代码了2333)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
long long read()
{
int x=,f=; char ch=getchar();
while (ch<'' || ch>'') {if (ch=='-') f=-; ch=getchar();}
while (ch>='' && ch<='') {x=x*+ch-'';ch=getchar();}
return (long long)x*f;
}
int T;
long long p;
long long Quick_Pow(long long x,long long y,long long p)
{
long long re=;
for (int i=y; i; i>>=,x=x*x%p)
if (i&) re=re*x%p;
return re;
}
long long BSGS(long long a,long long b,long long p)
{
long long m=ceil(sqrt(p)),t=;
map<long long,long long>hash;
for (int i=; i<=m; i++,b=b*a%p) hash[b]=i;
long long f=Quick_Pow(a,m,p);
for (long long i=; i<=m; i++)
if (t=t*f%p,hash.count(t)) return i*m-hash[t]+;
return -;
}
int main()
{
T=read();
while (T--)
{
long long a,b,X1,t;
p=read(),a=read(),b=read(),X1=read(),t=read();
if (X1==t) {puts(""); continue;}
if (a==) {if (t==b) puts(""); else puts("-1"); continue;}
if (a==) {if (!b) puts("-1"); else printf("%lld\n",((((t-X1+p)%p)*Quick_Pow(b,p-,p)%p)%p)+); continue;}
long long aa=Quick_Pow(a-,p-,p),t1=b*aa%p,t2=(X1%p+t1)%p,tt=Quick_Pow(t2,p-,p),t3=(t+t1)%p;
printf("%lld\n",BSGS(a,t3*tt%p,p));
}
return ;
}

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