COGS 2421.[HZOI 2016]简单的Treap 题解

题目大意：

给定n个数及其优先级，求对应的符合最小堆性质的Treap的先序遍历。

n<=500000。

解法：

目前为止我只想到了三种解法，其中第三种是正解。

1.暴力1

以优先级为关键字排序，然后按顺序构建BST即可。注意不能加平衡，因为这样会改变树的先序遍历。

期望复杂度O(nlogn)(排序和构建)，考虑极端情况下树可能是一个链，最坏情况复杂度O(n²)。

2.暴力2

直接构建Treap，但遇到是链的情况仍然是O(n²)。

考虑将节点顺序打乱后进行建树，常数大大减小，但由于链状树的深度为n，最坏情况仍然O(n²)(这个复杂度是达哥提出的，不知道对不对)。

3.RMQ+分治

考虑以数大小为关键字排序，那么显然排序后一个点的左子树就在它的左边，右子树就在它右边，而对于一个区间[l,r]，显然它对应的子树的树根就是区间中优先级最小的点，这样就转化为了RMQ问题。

具体做法：

1.把元素按数的大小排序，用Sparse-Table算法预处理RMQ。

2.初始区间为[1,n]，每次从区间中选出优先级最小的点作为子树的根，递归建左子树和右子树(虽然实现过程中并不用真的建树)。

由于每个点都被选作树根并往下递归一次，而Sparse-Table的查询是O(1)的，因此总复杂度为O(nlogn)(排序)，如果使用线性排序则可以降到O(n)。

后记：

这个题也是一时脑洞的产物，主要是受蓝书中Treap唯一这句话的启发，因此出了这么一道题。

这道题的解法也是一时脑洞，不过确实不错，值得借鉴。

其实一开始本来想卡暴力，发现标程最后两个点要跑1s多一点点，因此时限开的1.5s，这下暴力1就有了80分，至于暴力2，估计是卡不住的了。

最近出题不少，估计是要发扬ad神犇的优良传统了。