信奥题库（OI题库）8月月赛T1题解 幂次数

0.前置知识

• 分解质因数

• 快速幂（不必要）

1.思路

首先，我们知道一个正整数（设它为 \(a\) ）一定能分解成这样的形式：

\[a= \prod_{i\in N^*} p_i^{c_i}
\]

其中， \(p\) 为质数序列。

就是分解质因数。

幂次数可以表示为 \(a^b\)（其中 \(a\) 为质数， \(b\) 为自然数）。如果 \(a^b\) 整除正整数 \(x\) ，并且 \(a^{b+1}\) 不整除 \(x\) ，那么我们称 \(a^b\) 为正整数 \(x\) 的幂次数。 ——摘自题目

结合上面的“ \(p_i^{c_i}\) ”，是不是发现了什么？没错， 幂次数一定等于 \(p_i^{c_i}\) ！至于为什么，因为 \(a\) 一定是一个质数（也就代表了不可能有因数），而且 \(p_i^{c_i}\) 一定能整除 \(x\) ，\(p_i^{c_{i-1}}\) 、 \(p_i^{c_{i-2}}\) 这些都存在 \(a^{b+1}\) 能整除 \(x\) ，所以，幂次数一定等于 \(p_i^{c_i}\) 。

有了这个结论，思路就变得十分清晰了——先对 \(x\) 分解质因数求出每个 \(p_i\) 和 \(c_i\) ，幂次数就一定是 \(p_i^{c_i}\) 。 求出每个幂次数，再排序，输出前 \(k\) 个幂次数。

2.Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
map<ll,ll> get_prime_facs(ll x){ //分解质因数，返回值代表每个ret[pi]=ci。
    map<ll,ll> ret;
    ll fuck=x;
    for(ll i=2;i*i<=x;i++){//因为只可能存在一个大于根号x的因数，所以可以只循环到根号x
        while(fuck%i==0){//除掉每个i
            fuck/=i;
            ret[i]++;
        }
    }
    if(fuck!=1){//最后可能剩下一个大于根号x的因数
        ret[fuck]++;
    }
    return ret;
}
ll quick_pow(ll x,ll y){//快速幂（其实不需要，换成暴力乘也可以）
    if(y==0){
        return 1;
    }else if(y%2==1){
        ll nxt=quick_pow(x,y/2);
        return nxt*nxt*x;
    }else{
        ll nxt=quick_pow(x,y/2);
        return nxt*nxt;
    }
}
ll x,k;
ll cmp(const ll &l,const ll &r){
    return l>r;
}
int main(){
    freopen("num.in","r",stdin);
    freopen("num.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&x,&k);
    vector<ll> ans;
    ans.push_back(1);
    map<ll,ll> facs=get_prime_facs(x);
    for(map<ll,ll>::iterator i=facs.begin();i!=facs.end();i++){
        ans.push_back(quick_pow(i->first,i->second));
    }//求出每个幂次数
    sort(ans.begin(),ans.end(),cmp);//从大到小排序
    for(int i=0;i<k;i++){//输出最大的
        printf("%lld ",ans[i]);
    }
    return 0;
}

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