链接:P2680

题意:

在树上把一条边边权变为0使得最长给定路径最短


分析:

最大值最小可以想到二分答案,对于每一个mid,寻找所有大于mid的路径,再寻找是否存在一条边使得删去它后大于mid的路径都小于等于mid,可以将这个条件分成两部分。

  1. 所有大于mid的路径都经过该边。可以想到统计路径数和每条边被经过的次数,前者可以在添加大于mid的路径时统计,后者则可以用树上边的差分搞定。

  2. 每条大于mid的路径删去这条边后都小于等于mid。我们发现在添加路径时如果大于mid的路径数为零则任何一条边根本不用删都可以直接满足条件,那么可以直接二分下去;如果路径数不为零,那么最长路径一定会被添加进来,而且在(1)的条件下,如果最长路径删去这条边都小于等于mid,那么每条大于mid的路径删去这条边后都小于等于mid,所以条件(2)变为最长路径减该边长度小于等于mid,对于两个端点的路径长度,只需要倍增求一下LCA,同时记录路径最大值。每条边的长度以及树上前缀和都可以在预处理LCA时一起解决。

然后我们发现这道题就做完了 。最后注意一下细节,比如二分的左边要从0开始。

那么我们就可以happily AC了。


代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
inline int read(){
int p=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){p=p*10+c-'0';c=getchar();}
return f*p;
}//快读
struct edge{
int b;
int w;
int next;
}e[600005];
int en,head[300005];//邻接表存图
int d[300005],f[300005][19];//倍增求LCA
int ev[300005];//记录每条边的长度并存到子节点中
int cf[300005];//树上边差分
int ans[300005];//通过差分得每条边经过的次数
long long dist[300005];//根到节点的距离
int x[300005],y[300005];
int t[300005],len[300005];//对于每次任务,x,y记录其路径端点,t为x,y的LCA,len为其长度
int maxn;//最大任务路径长度
void insert(int a,int b,int v){
e[++en].b=b;
e[en].next=head[a];
e[en].w=v;
head[a]=en;
}//存边
void dfs(int fa,int now){
f[now][0]=fa;
d[now]=d[fa]+1;
for(int i=0;i<=17;i++)
f[now][i+1]=f[f[now][i]][i];//LCA
for(int x=head[now];x;x=e[x].next){
int v=e[x].b;
if(v==fa) continue;
ev[v]=e[x].w;//化边为点
dist[v]=dist[now]+e[x].w;//节点到根的距离
dfs(now,v);
}
}//dfs同时预处理LCA,化边为点,节点到根的距离
int LCA(int x,int y){
if(d[x]<d[y])swap(x,y);
for(int i=18;i>=0;i--){
if(d[f[x][i]]>=d[y])x=f[x][i];
if(x==y) return x;
}
for(int i=18;i>=0;i--){
if(f[x][i]!=f[y][i]){
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
}
return f[x][0];
}//倍增求LCA
int getans(int fa,int now){
int x=head[now];
while(x!=0){
if(e[x].b!=fa)
ans[now]+=getans(now,e[x].b);
x=e[x].next;
}
ans[now]+=cf[now];
return ans[now];
}//树上边差分得每条边经过的次数
int erfen(int l,int r){
if(l==r)
return l;
memset(cf,0,sizeof(cf));
memset(ans,0,sizeof(ans));//清零
int mid=(l+r)/2;//二分最小的最大值
int tim=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(len[i]>mid){//把所有大于mid的路径丢进去
cf[x[i]]++;
cf[y[i]]++;
cf[t[i]]-=2;
tim++;//记录路径数
}
}
if(tim==0)//没有比mid大的路径,不用删边都满足题意,mid大了
return erfen(l,mid);
int tt=getans(0,1);//差分
for(int i=2;i<=n;i++)
if(ans[i]==tim&&maxn-ev[i]<=mid)
//ans[i]==tim 意为 所有比mid大的路径都经过这条边 即条件1
//maxn-ev[i]<=mid 意为 删边后最长路径满足mid 即条件2
return erfen(l,mid);//删边后满足题意,mid大了
return erfen(mid+1,r);//不满足mid,mid小了
}//二分答案
int main(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<n;i++){
int a,b,c;
a=read();b=read();c=read();
insert(a,b,c);
insert(b,a,c);
}//存边
dfs(0,1);//预处理
for(int i=1;i<=m;i++){
x[i]=read();y[i]=read();
t[i]=LCA(x[i],y[i]);
len[i]=dist[x[i]]+dist[y[i]]-2*dist[t[i]];//算路径长度
maxn=max(maxn,len[i]);//记录最长距离
}
int l=erfen(0,maxn);//左边一定要从0开始,不能排除答案为0
printf("%d",l);
return 0;
}

题外话:

蒟蒻的第一篇博客!!!发现题解有大佬和我做法一样,果然还是我太弱了

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