学习笔记——不带修序列莫队 （luogu2079）小B的询问

莫队是一种对于询问的离线算法

时间复杂度：O（\(n \sqrt n\)）

大致思想就是

首先将询问离线，然后对原序列分块，使得每一个\(l和r\)都在一个块里

然后按照左节点排序，若所在的块相等，就比较右节点

int cmp1(Node a,Node b)
{
	if (pos[a.l]==pos[b.l]) return a.r<b.r;
    return a.l<b.l;
}

排序之后，我们再来分析一下时间复杂度；接下来我们会看到神奇的事情！！

刚才分析此方法的时候，我们是从L和R的偏移量分析的；我们仍然用这种方法来分析。

考虑一下在同一个块的时候。由于L的范围是确定的，所以每次L的偏移量是O（√N）

但是r的范围没有确定；r的偏移量是O（N）。

那么从一个块到另一个块呢?

明显地，r我们不需要作考虑，仍然是O（N）。

而L明显最多也是2*√N，而且这种情况下，很快就会到下下一块。所以也是O（√N）

由于有√N（根号N）个块，所以r的总偏移量是O（N*√N）

而M个询问，每个询问都可以让L偏移O（√N），所以L的总偏移量O（M*√N）

注意了，时间复杂度分析的时候一定要注意，r的偏移量和询问数目是没有直接关系的。

而L则恰恰相反；L的偏移量我们刚才也说明了，它和块的个数没有直接关系。

所以总的时间复杂度是：

O（(N+M)*\(\sqrt n\)）

在排序完之后，就按照顺序，一个一个求解，跳l和r

下面介绍两种操作 \(remove\)和\(insert\)，分别是将这个位置移除、将这个位置加入答案

QwQ我也不知道为什么我一开始把这两个合成了一个函数

inline void update(int pos,int add)
{
	ans-=poer(s[c[pos]]);
	s[c[pos]]+=add;
	ans+=poer(s[c[pos]]);
}

然后就是注意l和r 初始要设成 1和 0

void solve()
{
	int l=1,r=0;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{

		while (r<a[i].r)
		{
			update(r+1,1);
			r++;
		}
		while (r>a[i].r)
		{
			update(r,-1);
			r--;
		}
		while (l<a[i].l)
		{
			 update(l,-1);
			 l++;
		}
		while (l>a[i].l)
		{
			update(l-1,1);
			l--;
		}
		if (a[i].l==a[i].r)
		{
			a[i].ans=1;
			continue;
		}
		a[i].ans=ans;

	}
	return;
}

下面引入一个经典例题：

题目大意：

小B有一个序列，包含N个1~K之间的整数。他一共有M个询问，每个询问给定一个区间[L..R]，求Sigma(c(i)^2)的值,其中i的值从1到K，其中c(i)表示数字i在[L..R]中的重复次数。

对于全部的数据，1<=N、M、K<=50000

那么这道题就是一道经典的序列莫队问题了

直接上代码了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long

using namespace std;

const int maxn = 50010;

struct Node{
	int l,r,id;
	ll ans;
};

inline int read(){
    int f=1,x=0;char ch;
    do{ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;}while(ch<'0'||ch>'9');
    do{x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9');
    return x*f;
}

Node a[maxn];
int pos[maxn];
int c[maxn],n,m,block;
long long s[maxn];
int k;
ll ans;

inline ll poer(ll x){
	return x*x;
}

int cmp1(Node a,Node b)
{
	if (pos[a.l]==pos[b.l]) return a.r<b.r;
    return a.l<b.l;
}

int cmp2(Node a,Node b)
{
	return a.id<b.id;
}

inline void update(int pos,int add)
{
	ans-=poer(s[c[pos]]);
	s[c[pos]]+=add;
	ans+=poer(s[c[pos]]);
}

void solve()
{
	int l=1,r=0;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{

		while (r<a[i].r)
		{
			update(r+1,1);
			r++;
		}
		while (r>a[i].r)
		{
			update(r,-1);
			r--;
		}
		while (l<a[i].l)
		{
			 update(l,-1);
			 l++;
		}
		while (l>a[i].l)
		{
			update(l-1,1);
			l--;
		}
		if (a[i].l==a[i].r)
		{
			a[i].ans=1;
			continue;
		}
		a[i].ans=ans;

	}
	return;
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  c[i]=read();
	block=(int)sqrt(n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		pos[i]=(i-1)/block+1;
	}
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		a[i].l=read();
		a[i].r=read();
		a[i].id=i;
	}
	ans=0;
	sort(a+1,a+1+m,cmp1);
	solve();
	sort(a+1,a+1+m,cmp2);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		printf("%lld\n",a[i].ans);
	}
	return 0;
}