倍增 Tarjan 求LCA

                                                                                                                                                         ----代码都是  HDU 2586  "How far away" 为例

    倍增求LCA

　　树上倍增法。

　　设F[x,k] 表示x的2的k次方辈祖先，即 由x向上走2的k次方到达的节点

　　F[x,k]=F[F[x][k-1],k-1]

　　 预处理： 这类似于一个动态规划的过程，阶段就是节点的深度，因此，我们可以对树进行bfs，按照层次顺序，下节点入队之前，计算它在F数组中相应的值。

　　基于F数组计算LCA:

　　1.设d[x]表示x的深度。不妨设d[x]>d[y]

　　2.用二进制拆分思想，把x上调到与y同一深度

　　3.若x=y则LCA=y

　　否则 把x,y同时向上调整，并保持深度一致且二者不相会。

　　 具体来说，就是依次尝试把x,y同时向上走2的整数次方步（递减），在每此尝试中，若F[x,k]!=F[y,k]，则令x=F[x,k],y=F[y,k]

　　4.此时x,y必定只差一步就相会了 则 LCA=fa[x] (x的父结点)

-----《算法竞赛》

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<vector>
 #include<cmath>
 #define M 40010
 #define go(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
 #define go1(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;i--)
 using namespace std;
 int read()
 {
   int x=,y=; char c; c=getchar();
   while(c<''||c>'') {if(c=='-') y=-;c=getchar();}
   while(c>=''&&c<='') {x=(x<<)+(x<<)+c-'';c=getchar();}
   return x*y;
 }
 int b[M],d[M],f[M][],dis[M],T,m,n,tt,t;
 struct node1 {int v,w,n;} a[M*];
 void add(int u,int v,int w) {a[++tt].n=b[u];a[tt].v=v;a[tt].w=w;b[u]=tt;}
 void dfs(int u)
 {
   int v,w;
   for(int i=b[u];i;i=a[i].n)
     {
       v=a[i].v;w=a[i].w;
       if(v==f[u][]) continue ;
       f[v][]=u;
       dis[v]=dis[u]+w;
       d[v]=d[u]+;
       go(j,,t) f[v][j]=f[f[v][j-]][j-];
       dfs(v);
     }
 }
 int lca(int u,int v)
 {
   if(d[u]>d[v]) swap(u,v);
   go1(i,t,) if(d[f[v][i]]>=d[u]) v=f[v][i];
   if(u==v) return u;
   go1(i,t,) if(f[u][i]!=f[v][i]) {u=f[u][i];v=f[v][i];}
   return f[u][];
 }
 int main()
 {
   T=read();
   while(T--)
     {
       int u,v,w;
       n=read();m=read();t=(int)(log(n)/log())+;
       tt=; go(i,,n) {dis[i]=;d[i]=;b[i]=;}
       go(i,,n-) {u=read();v=read();w=read();add(u,v,w);add(v,u,w);}
       d[]=;dfs();
       go(i,,m)
     {u=read();v=read();printf("%d\n",dis[u]+dis[v]-*dis[lca(u,v)]);}
     }
   return ;
 }

　Tarjan求LCA

算法本质是使用并查集对“向上标记法”的优化。离线算法。复杂度为O（m+n）。

-----《算法竞赛》

画图非常清晰明了啊

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<vector>
 #define M 40010
 #define go(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
 using namespace std;
 int read()
 {
   int x=,y=; char c; c=getchar();
   while(c<''||c>'') {if(c=='-') y=-;c=getchar();}
   while(c>=''&&c<='') {x=(x<<)+(x<<)+c-'';c=getchar();}
   return x*y;
 }
 vector<int> q[M][];
 int b[M],ans[M],dis[M],f[M],fa[M];
 int tt,n,m,T;
 struct node1 {int v,w,n;} a[M*];
 void add(int u,int v,int w) {a[++tt].n=b[u];a[tt].v=v;a[tt].w=w;b[u]=tt;}
 int find(int x) {if(fa[x]==x) return x; return fa[x]=find(fa[x]);}
 void tarjan(int u)
 {
   f[u]=;int v,w,id;
   for(int i=b[u];i;i=a[i].n)
     {
       v=a[i].v;w=a[i].w;
       if(f[v]) continue ;
       dis[v]=dis[u]+w;
       tarjan(v);
       fa[v]=u;
     }
   for(int i=;i<q[u][].size();i++)
     {
       v=q[u][][i];id=q[u][][i];
       if(f[v]==)
     {ans[id]=dis[u]+dis[v]-*dis[find(v)];}
     }
   f[u]=;
 }
 void init()
 {
   tt=;
   go(i,,n)
     {
       fa[i]=i;q[i][].clear();q[i][].clear();dis[i]=;f[i]=;b[i]=;
     }
 }
 int main()
 {
   T=read();
   while(T--)
     {
       n=read();m=read();  int u,v,w;
       init();;
       go(i,,n-)
     {u=read();v=read();w=read();add(u,v,w);add(v,u,w);}
       go(i,,m)
     {
       u=read();v=read();
       q[u][].push_back(v);q[v][].push_back(u);
       q[u][].push_back(i);q[v][].push_back(i);
     }
       tarjan();
       go(i,,m) printf("%d\n",ans[i]);
     }
   return ;
 }