【BZOJ4820】【SDOI2017】硬币游戏

Description

　　

　　

　　

Solution

　　

　　设当前走出了一个不匹配任何字符串的串\(S\)。

　　

​　　若在\(S\)后随机增添\(m\)个字符，单看这些字符而言，这\(m\)个字符匹配到每个玩家的字符串的概率是相同的，记为\(P\)。

　　

　　问题在于，对于每个字符串来说，并不是所有情况下一定要通过新增添\(m\)个字符才能匹配到自己，有可能加到中途时，就已经与\(S\)的某个后缀组成了自己，又或者是与\(S\)的某个后缀组成了别的字符串，早该停止了。

　　

　　但是，对于每个串，不管每种情况中途该不该停下，我们计算出每种情况继续增加满\(m\)个字符并匹配到自己的概率，它们的概率之和还是\(P\)。

　　

　　 记每个人\(i\)成功被匹配到的概率是\(f_i\)（答案的定义）。

　　

　　现在枚举对于一个人\(i\)，在新加\(m\)个字符尝试匹配自己时，所有中途应该停下的情况。

　　

　　​ 枚举另一个人\(j\)，如果\(j\)的\(len\)后缀与\(i\)的\(len\)前缀相同，则配合\(S\)的随机性，可能出现了这种情况：

　　



　　

​　　 这时候早就该停了，但为了凑齐\(P\)，要计算在这种情况下继续匹配完全时所需的概率。继续匹配完\(i\)的子串，则还需要\((\frac 1 2)^{m-len}\)的概率。因此，这种情况对总和的贡献有\((\frac 1 2)^{m-len}f_j\)。当然，\(i\)和\(j\)之间不止有一个\(len\)满足条件，应找出所有符合描述的\(len\)，累加\(f_j\)的贡献系数，记最终\(f_j\)贡献系数为\(a_j=\sum(\frac 1 2)^{m-len}\)。

　　

​　　 其实\(j\)可以等于\(i\)，这代表着提前匹配到自己的情况。

　　

​　　 我们可以列出等式：

\[P=\sum_{i=1}^na_if_i
\]

​　　 总的来说，每一个人获胜的概率之和应该是1，因此有等式

\[\sum_{i=1}^nf_i=0
\]

​　　 算上\(P\)，我们拿到了一个\(n+1\)个未知数的\(n+1\)条方程，高斯消元解决即可，尽管我们并不需要知道\(P\)的具体取值。

　　　　

　　

　　

Code

　　

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=305;
int n,m;
char str[N][N];
double a[N][N],x[N];
int nex[N*2];
double mi2[N];
double kmp(int x,int y){
	static char b[N*2];
	for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=str[x][i],b[m+i]=str[y][i];
	nex[1]=0;
	for(int i=2,j;i<=m*2;i++){
		j=nex[i-1];
		while(j&&b[j+1]!=b[i]) j=nex[j];
		if(b[j+1]==b[i]) nex[i]=j+1;
		else nex[i]=0;
	}
	double res=0;
	for(int i=m*2;i;i=nex[i])
		if(i<=m) res+=mi2[m-i];
	return res;
}
void fill_matrix(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++)
			a[i][j]=kmp(i,j);
		a[i][n+1]=-1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) a[n+1][i]=1;
	a[n+1][n+2]=1;
}
void gaussian(int n){
	int best;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		best=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[best][i])) best=j;
		if(best!=i)
			for(int j=i;j<=n+1;j++) swap(a[i][j],a[best][j]);
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			double t=a[j][i]/a[i][i];
			for(int k=i;k<=n+1;k++)
				a[j][k]-=a[i][k]*t;
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;i--){
		for(int j=i+1;j<=n;j++) a[i][n+1]-=a[i][j]*x[j];
		x[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	mi2[0]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++) mi2[i]=mi2[i-1]*0.50000000000;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",str[i]+1);
	fill_matrix();
	gaussian(n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.10lf\n",x[i]);
	return 0;
}

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