P4568 [JLOI2011]飞行路线（分层图）

机房dalao推荐写的。。。（标签分层图）

经过前几题的分层图的洗礼，我深刻地体会到了分层图的优点和好处（主要是不想打dp....）

先说题吧....

很明确，模型是最短路，但是，怎么跑k个，是个问题....

解题过程：

1、先跑最短路，记录路径，然后找路径上的k条最长边，删掉

tips：贪心，很容易hack掉。

2、建两层的分层图（以前打的都是两层居多）

tips：会跑出0来....

solution：

主要就是：怎么连边喽....一开始老是卡住

连边有2种情况：

1. 同一层之间的边，边权为题目给的边权，同层之间连
2. 层与层之间，一个点连到下一层的它对应的出点，边权为0，为单向边

一共K层，上层可以跑到下层的出点，却不能回去，这就是一次免票。

然后跑最短路，最后查t+n*k那个点的dis就可以了。

for(int i=;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        x=read();y=read();z=read();
        addedge(x,y,z);
        addedge(y,x,z);
        for(int j=;j<=k;j++)
        {
            addedge(x+n*j,y+n*j,z);
            addedge(y+n*j,x+n*j,z);
            addedge(x+(j-)*n,y+j*n,);
            addedge(y+(j-)*n,x+j*n,);
        }
    }

如上，分层连边。

之后就是一个spfa的事了（然而我各种常数（畜生）优化+O2卡到比旁边dalao快600ms的地步哈哈哈哈）

值得注意：

1、最后要把每一层的t点连在一起，因为如果在第二层就跑到了最短，在最后一层的t并不能查到正确答案

2、一共有k+1层，所以初始化dis要k+1层，因为这个卡了一小会...

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=6e6+;
int n,m,k;
int s,t;
inline int read()
{
    int x=,f=;char s=getchar();
    while(s>''||s<''){if(s=='-')f=-;s=getchar();}
    while(s<=''&&s>=''){x=x*+s-'';s=getchar();}
    return x*f;
}
struct edge
{
    int to,next,dis;
}e[maxn];
int head[maxn],cnt;
inline void addedge(int from,int to,int dis)
{
    e[++cnt].next=head[from];
    e[cnt].to=to;
    e[cnt].dis=dis;
    head[from]=cnt;
}
int dis[maxn],vis[maxn];
struct cmp
{
    bool operator () (int a,int b)
    {
        return dis[a]>dis[b];
    }
};
priority_queue < int , vector < int > , cmp > q;
//queue < int > q;
void spfa(int s)
{

    for(int i=;i<=(k+)*n;i++)
    {
        dis[i]=;
        vis[i]=;
    }
    //memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    q.push(s);
    dis[s]=;
    vis[s]=;
    while(!q.empty())
    {
        //cout<<233;
        int u=q.top();
        //int u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].to;
            if(dis[v]>dis[u]+e[i].dis)
            {
                dis[v]=dis[u]+e[i].dis;
                if(vis[v]==)
                {
                    q.push(v);
                    vis[v]=;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    n=read();
    m=read();
    k=read();
    s=read();
    t=read();
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        x=read();
        y=read();
        z=read();
        addedge(x,y,z);
        addedge(y,x,z);
        for(int j=;j<=k;j++)
        {
            addedge(x+n*j,y+n*j,z);
            addedge(y+n*j,x+n*j,z);
            addedge(x+(j-)*n,y+j*n,);
            addedge(y+(j-)*n,x+j*n,);
        }
    }
    for(int i=;i<=k;i++)
    addedge(t+(i-)*n,t+i*n,);
    spfa(s);
    cout<<dis[t+k*n];//printf("%d",dis[t+k*n]);
    return ;
}

现在来说一说dp和分层图的关系：

首先，分层图的“层”是什么，它就是dp中的状态。在一些图论题目中，状态不好转移，就可以使用分层图进行转移，不需要再管“从哪转移”这个问题，剩下的最优解直接交给spfa就行了。（最优贸易）

这些状态之间可以互相转移，一般在二维或是以上，可以省去一些不相关状态的枚举，但是因为spfa的广泛枚举性还是会枚举更多“不是最优解”的状态的。

（完）