【HDU4947】GCD Array（莫比乌斯反演+树状数组）

点此看题面

大致题意： 一个长度为$n$的数组，实现两种操作：将满足$gcd(i,k)=d$的$a_i$加上$v$，询问$\sum_{i=1}^xa_i$。

对于修改操作的推式子

莫比乌斯反演真是个神奇而又有趣的东西......

考虑修改操作是将满足$gcd(i,k)=d$的$a_i$加上$v$，则若$d\not| k$，显然是不存在满足条件的$i$的，可以直接忽略这一修改操作（忘记判断结果调到心态爆炸......）

否则，也就相当于：

\[a_i+=v\cdot[gcd(i,k)=d]
\]

将$[gcd(i\cdot d,k)=d]$转化，即三个数同时除以$d$，得到：

\[a_i+=v\cdot[gcd(\frac id,\frac kd)=1]
\]

根据$\sum_{p|x}\mu(p)=[x=1]$这一性质，我们就可以将上述式子再次变形，得到：

\[a_i+=\sum_{p|\frac id,p|\frac kd}v\cdot\mu(p)
\]

因为原式中$p|\frac id$这一限制等同于$(p\cdot d)|i$，所以就等同于：

\[a_i+=\sum_{(p\cdot d)|i,p|\frac kd}v\cdot \mu(p)
\]

如果我们枚举满足$p|\frac kd$的$p$，并增开一个辅助数组$f$，每次修改操作就相当于修改$f$：

\[f_{p\cdot d}+=v\cdot\mu(p)
\]

那么对于$a_i$，其实就可以得到：

\[a_i=\sum_{j|i}f_j
\]

对于询问操作的推式子

题目询问我们$\sum_{i=1}^xa_i$。

由之前推出的式子我们知道：

\[a_i=\sum_{j|i}f_j
\]

所以，答案就是：

\[\sum_{i=1}^x\sum_{j|i}f_j
\]

调整枚举顺序，先枚举$j$，得到：

\[\sum_{j=1}^x\lfloor\frac xj\rfloor f_j
\]

所以，我们可以先除法分块，并利用树状数组实现对$f$的区间求和，即可得出答案了。

代码

#include<bits/stdc++.h>

#define Tp template<typename Ty>

#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>

#define Reg register

#define RI Reg int

#define Con const

#define CI Con int&

#define I inline

#define W while

#define N 200000

#define LL long long

#define pb push_back

using namespace std;

int n;vector<int> v[N+5];

class FastIO

{

	private:

		#define FS 100000

		#define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)

		#define pc(c) (C==E&&(clear(),0),*C++=c)

		#define tn (x<<3)+(x<<1)

		#define D isdigit(c=tc())

		int T;char c,*A,*B,*C,*E,FI[FS],FO[FS],S[FS];

	public:

		I FastIO() {A=B=FI,C=FO,E=FO+FS;}

		Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=tn+(c&15),D);}

		Tp I void write(Ty x) {W(S[++T]=x%10+48,x/=10);W(T) pc(S[T--]);}

		Tp I void writeln(Con Ty& x) {write(x),pc('\n');}

		I void put_case(CI x) {pc(67),pc(97),pc(115),pc(101),pc(32),pc(35),write(x),pc(58),pc(10);}

		I void clear() {fwrite(FO,1,C-FO,stdout),C=FO;}

}F;

class LinearSieve//线性筛预处理莫比乌斯函数

{

    private:

        int Pt,P[N+5],mu[N+5];

    public:

        I int operator [] (CI x) Con {return mu[x];}

        I LinearSieve()

        {

            mu[1]=1;for(RI i=2,j;i<=N;++i)

                for(!P[i]&&(mu[P[++Pt]=i]=-1),j=1;j<=Pt&&1LL*i*P[j]<=N;++j)

                    if(P[i*P[j]]=1,i%P[j]) mu[i*P[j]]=-mu[i];else break;

        }

}Mu;

class TreeArray//树状数组实现单点修改、区间求和

{

	private:

		LL a[N+5];

	public:

		I void Clear() {memset(a,0,sizeof(a));}

		I void Add(RI x,CI y) {W(x<=n) a[x]+=y,x+=x&-x;}

		I LL Qry(RI x,LL t=0) {W(x) t+=a[x],x-=x&-x;return t;}

}T;

int main()

{

	RI Tt=0,Qt,op,x,y,z,l,r;LL t;vector<int>::iterator it;

	for(RI i=1,j;i<=N;++i) if(Mu[i]) for(j=i;j<=N;j+=i) v[j].pb(i);//预处理约数，注意μ=0可忽略

	W(F.read(n),F.read(Qt),n&&Qt)

	{

		F.put_case(++Tt),T.Clear();W(Qt--) switch(F.read(op),F.read(x),op)

		{

			case 1:if(F.read(y),F.read(z),x%y) continue;x/=y;//注意判断不整除情况直接跳过

				for(it=v[x].begin();it!=v[x].end()&&*it*y<=n;++it) T.Add(*it*y,Mu[*it]*z);break;//枚举约数在树状数组上修改

			case 2:for(t=0,l=1;l<=x;l=r+1) r=x/(x/l),t+=(T.Qry(r)-T.Qry(l-1))*(x/l);F.writeln(t);break;//除法分块+树状数组求答案

		}

	}return F.clear(),0;

}