matlab 万能实用的非线性曲线拟合方法

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在科学计算和工程应用中，经常会遇到需要拟合一系列的离散数据，最近找了很多相关的文章方法，在这里进行总结一下其中最完整、几乎能解决所有离散参数非线性拟合的方法

第一步：得到散点数据

根据你的实际问题得到一系列的散点

例如：

x=[3.2,3.6,3.8,4,4.2,4.8,5,5.4,6.2,6.4,6.6,6.9,7.1]';%加上一撇表示对矩阵的转置
y=[0.38,0.66,1,0.77,0.5,0.66,0.83,1,0.71,0.71,1,0.87,0.83]';

第二步：确定函数模型

根据上述的实际散点确定应该使用什么样的曲线，或者说是想要模拟的曲线

t=[3.2,3.6,3.8,4,4.2,4.8,5,5.4,6.2,6.4,6.6,6.9,7.1]';
tt=[0.38,0.66,1,0.77,0.5,0.66,0.83,1,0.71,0.71,1,0.87,0.83]';

plot(t,tt,'.');%得到散点图

散点图如下所示：

我们已知现存的几种典型的（也是绝大多数情况下的函数模型）

选定一个与散点图像相匹配的函数模型，在此例中我们选择典型的S型曲线模型y= 1/(a+b*e^(-x))，其实此处的函数模型可以任意。

第三步：确定选用函数模型中的未知参数

首先了解一下matlab中的inline函数，inline是用来定义内联函数的
比如说：

y=inline('sin(x)','x') %第一个参数是表达式，第二个参数是函数变量
y(0) %计算sin(0)的值
y(pi) %计算sin(pi)的值
q=quad(y,0,1); %计算sin(x) 在0到1上的积分

之后，我们在代码中进行函数的定义

x=[3.2,3.6,3.8,4,4.2,4.5,4.8,5,5.3,5.4,5.6,5.8,6,6.2,6.4,6.6,6.9,7.1]';
y=[0.38,0.66,1,0.77,0.5,0.33,0.66,0.83,0.33,1,0.33,0.5,0.33,0.71,0.71,1,0.87,0.83]';

myfunc = inline('1./(beta(1)+beta(2).*exp(-x))','beta','x');%三个参数分别为：函数模型(注意需要使用点除和点乘)，待定系数，自变量

beta0 = [0.2,0.2]';%待定系数的预估值
beta = nlinfit(x,y,myfunc,beta0);%

其中，beta返回了非线性拟合之后的待定系数，beta(1)和beta(2)表示待定系数，可以为任意数量的扩展beta(n)，也就说明了选择函数模型的自由性，甚至可以有100个参数！

beta0表示的是函数模型中待定系数的预估值，可以任意设定

matlab 中的nlinfit(x,y,f,a)函数：用于拟合非线性表达式的函数
f:符号函数句柄,如果是以m文件的形式调用的时候,别忘记加@.这里需要注意,f函数的返回值是和y匹对的,即拟合参数的标准是(f-y)^2取最小值,具体看下面的例子
a:最开始预估的值(预拟合的未知参数的估计值)。如上面的问题如果我们预估A为1,B为2,则a=[1 2]
x:我们已经获知的x的值
y:我们已经获知的x对应的y的值（这部分不懂的在matlab中help命令进行了解）

求解出beta的大小：beta(1) = 1.1562 beta(2) = 15.1875;

画图：使用plot()函数

t=[3.2,3.6,3.8,4,4.2,4.8,5,5.4,6.2,6.4,6.6,6.9,7.1]';
tt=[0.38,0.66,1,0.77,0.5,0.66,0.83,1,0.71,0.71,1,0.87,0.83]';

plot(t,tt,'.');
hold on%保证同时显示

x = 0:0.01:8;
y = 1./(1.1562+15.1875.*exp(-x));

plot(x,y);

结果：是不是很棒！~，另外可以自行加上对应的横纵坐标内容，这里就不多说了。

总结一下matlab非线性拟合散点图的过程：得到散点数据=>确定函数模型=>求解函数模型的待定系数=>得到拟合函数的具体形式=>画出拟合图像

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用过Matlab的拟合、优化和统计等工具箱的网友，会经常遇到下面几个名词：

SSE(和方差、误差平方和)：The sum of squares due to error
MSE(均方差、方差)：Mean squared error
RMSE(均方根、标准差)：Root mean squared error
R-square(确定系数)：Coefficient of determination
Adjusted R-square：Degree-of-freedom adjusted coefficient of determination

下面我对以上几个名词进行详细的解释下，相信能给大家带来一定的帮助！！

一、SSE(和方差)
该统计参数计算的是拟合数据和原始数据对应点的误差的平方和，计算公式如下

SSE越接近于0，说明模型选择和拟合更好，数据预测也越成功。接下来的MSE和RMSE因为和SSE是同出一宗，所以效果一样

二、MSE(均方差)
该统计参数是预测数据和原始数据对应点误差的平方和的均值，也就是SSE/n，和SSE没有太大的区别，计算公式如下

三、RMSE(均方根)
该统计参数，也叫回归系统的拟合标准差，是MSE的平方根，就算公式如下

在这之前，我们所有的误差参数都是基于预测值(y_hat)和原始值(y)之间的误差(即点对点)。从下面开始是所有的误差都是相对原始数据平均值(y_ba)而展开的(即点对全)!!!

四、R-square(确定系数)
在讲确定系数之前，我们需要介绍另外两个参数SSR和SST，因为确定系数就是由它们两个决定的
(1)SSR：Sum
of squares of the regression，即预测数据与原始数据均值之差的平方和，公式如下

(2)SST：Total sum of squares，即原始数据和均值之差的平方和，公式如下

细心的网友会发现，SST=SSE+SSR，呵呵只是一个有趣的问题。而我们的“确定系数”是定义为SSR和SST的比值，故

其实“确定系数”是通过数据的变化来表征一个拟合的好坏。由上面的表达式可以知道“确定系数”的正常取值范围为[0
1]，越接近1，表明方程的变量对y的解释能力越强，这个模型对数据拟合的也较好。