[THUPC2019]不等式/[51Nod1598]方程最小值

[THUPC2019]不等式/[51Nod1598]方程最小值

题目大意：

给定\(a_{1\sim n}\)和\(b_{1\sim n}\)，令\(f_k(x)=\sum_{i=1}^k|a_ix+b_i|\)。对于所有\(k=1\sim n\)，求\(f_k\)在\(\mathbb{R}\)中的最小值。

\(1\le n\le 5\times10^5,|a_i|,|b_i|<10^5\)

思路：

\[\sum_{i=1}^k|a_ix+b_i|=\sum_{i=1}^k|a_i||x+\frac{b_i}{a_i}|
\]

画在数轴上就是在\(-\frac{b_i}{a_i}\)（即零点）的位置有\(|a_i|\)个点。要找到一个位置\(x\)，使得\(x\)到所有点的距离之和最小。

根据小学奥数的那套理论，\(x\)就是所有零点的加权中位数。我们可以用一个大根堆、一个小根堆来维护所有的零点，并求出中位数。

考虑函数加上绝对值后，\(a_i\)实际的符号。对于\(-\frac{b_i}{a_i}<x\)的函数来说，\(a_i>0\)；反之\(a_i<0\)。因此我们可以在对两个堆中的元素分别维护考虑绝对值后\(a_i,b_i\)之和。即可求出最终\(f_k(x)\)的最小值。

时间复杂度\(\mathcal O(n\log n)\)。

源代码：

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cassert>
#include<algorithm>
inline int getint() {
	register char ch;
	register bool neg=false;
	while(!isdigit(ch=getchar())) neg|=ch=='-';
	register int x=ch^'0';
	while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
	return neg?-x:x;
}
const int N=5e5+1;
using int64=long long;
using Node=std::pair<double,int>;
std::priority_queue<Node,std::vector<Node>,std::greater<Node>> q1;//small
std::priority_queue<Node,std::vector<Node>,std::less<Node>> q2;//big
int64 s1,s2,a1,a2,b1,b2,a[N],b[N];
double o[N];
int main() {
	const int n=getint();
	for(register int i=1;i<=n;i++) a[i]=getint();
	for(register int i=1;i<=n;i++) b[i]=getint();
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		if(a[i]!=0) {
			o[i]=-1.*b[i]/a[i];
			if(s1&&o[i]>q1.top().first) {
				q1.push(std::make_pair(o[i],i));
				if(a[i]>0) a[i]=-a[i],b[i]=-b[i];
				a1+=a[i]; b1+=b[i];
				s1+=std::abs(a[i]);
			} else {
				q2.push(std::make_pair(o[i],i));
				if(a[i]<0) a[i]=-a[i],b[i]=-b[i];
				a2+=a[i]; b2+=b[i];
				s2+=std::abs(a[i]);
			}
		} else {
			b1+=std::abs(b[i]);
		}
		while(s1>s2) {
			q2.push(q1.top());
			const int i=q1.top().second;
			a1-=a[i]; b1-=b[i];
			s1-=std::abs(a[i]);
			a[i]=-a[i]; b[i]=-b[i];
			a2+=a[i]; b2+=b[i];
			s2+=std::abs(a[i]);
			q1.pop();
		}
		while(s2>s1) {
			q1.push(q2.top());
			const int i=q2.top().second;
			a2-=a[i]; b2-=b[i];
			s2-=std::abs(a[i]);
			a[i]=-a[i]; b[i]=-b[i];
			a1+=a[i]; b1+=b[i];
			s1+=std::abs(a[i]);
			q2.pop();
		}
		const double x=s1?q1.top().first:0;
		printf("%.7f\n",a1*x+b1+a2*x+b2);
	}
	return 0;
}