[ Luogu 4626 ] 一道水题 II

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\(Description\)

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求一个能被\([1,n]\) 内所有数整除的最小数字，并对 \(100000007\) 取模

• \(N\in [1,10^8]\)

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\(Solution\)

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一道卡常好题 好吧是我常数太大了

考虑将限制区间内所有数质因数分解，对每一个质因子\(i\)记录下\(t_i\)表示，这个质因子在区间内任意一个数里，出现的最高幂次，那么答案就应该是每个质因子对应的最高幂之积。

质数可以线性筛 注意常数别写丑了 ，考虑如何求每一个质数的最高次幂。考虑将上限\(N\)除掉一次质因数\(p_i\),得到的数就代表原来那些含\(p_i\)的数的个数。于是一直将\(N\)除\(p_i\)至\(0\)，那么合法的除的次数就是最高幂次的指数。

然后我写了个快速幂就\(T\)了......注意到迭代的同时是可以记录这个最高次幂的结果的，所以可以去掉快速幂的\(log\)复杂度虽然只快了几十毫秒依然卡着时限

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\(Code\)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 100000010
#define R register
#define mod 100000007ll
using namespace std;
typedef long long ll;

bool vis[N];
int n,prm[N>>3];

inline void init(int n){
  for(R int i=2;i<=n;++i){
    if(!vis[i]) prm[++prm[0]]=i;
    for(R int j=1,k;j<=prm[0]&&(k=prm[j]*i)<=n;++j){
      vis[k]=1; if(i%prm[j]==0) break;
    }
  }
}

inline ll qpow(ll x,ll t){
  ll res=1;
  while(t){
    if(t&1) (res*=x)%=mod;
    (x*=x)%=mod; t>>=1;
  }
  return res;
}

int main(){
  scanf("%d",&n); init(n);
  R ll tmp,res,ans=1;
  for(R int i=1;i<=prm[0];++i){
    tmp=(ll)n; res=1;
    while(tmp>=prm[i]) (res*=prm[i])%=mod,tmp/=prm[i];
    (ans*=res)%=mod;
  }
  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}