树的直径初探+Luogu P3629 [APIO2010]巡逻【树的直径】By cellur925

题目传送门

我们先来介绍一个概念：树的直径。

树的直径：树中最远的两个节点间的距离。（树的最长链）
树的直径有两种方法，都是$O(N)$。

第一种：两遍bfs/dfs（这里写的是两遍bfs）

从任意一个节点出发，遍历一遍树找到与出发点距离最远的点p。

再从节点p出发，遍历一遍求出与p距离最远的点q。则pq即为直径（其中一个）

但是不能处理负权边。

int bfs(int x)
{
    queue<int>q;
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    memset(pre,,sizeof(pre));
    fake=d[];
    q.push(x);d[x]=;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
        {
            int v=edge[i].to;
            if(d[v]==fake) q.push(v),pre[v]=i,d[v]=d[u]+;
        }
    }
    int top=x;
    for(int i=;i<=n;i++)
        if(d[i]>d[top]) top=i;
    return top;
}
int get_d()
{
    p=bfs();
    p=bfs(p);
    return d[p];
}

第二种：树形dp

void Treedp(int u)
{
    vis[u]=;
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(vis[v]) continue;
        Treedp(v);
        ans=max(ans,f[x]+f[y]+edge[i].val)
        f[x]=max(f[x],f[y]+edge[i].val);
    }
}

---

题目大意：给你一棵树，你需要把这棵树上的每条边至少遍历一次，走过一条边的代价是1，现在你可以添加1或2条边，新添的边可且仅可遍历一次，问最小代价是多少。

不加边的时候，答案就是$2*(n-1)$。

加一条新道路后，因为新道路必须经过恰好一次，设$l$,$r$为新建道路的两端，那么从$l$去$r$的时候走新道路，回来的时候走原来的道路。形成了一个环，也就是说其他与$l$,$r$无关的点还是走过两次，而连接$l$,$r$的路径上的边走一次就行了。而我们贪心的选择树中最长的路径，那就是树的直径。设直径为$d$，那么答案就是$2*(n-1)-d+1$。（+1是新建的那条道路）

加两条新道路后，也会形成一个环，但是我们不知道这个环与之前的那个环是不是有重叠关系。若重叠，那么两个环重叠的部分就不会被经过；不重叠还好说。那么我们如何解决？处理重叠情况，我们的目标是使重叠部分恰好经过两次，那么我们可以把第一次的直径上的所有边取反（1变成-1），再在取反了的树上找直径。最终答案就是

$2*(n-1)-(l₁-1)-(l₂-1)$。

Code

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<queue>
 #define maxn 100090

 using namespace std;

 int n,k,tot=,fake,p,ans1,ans2;
 int head[maxn],d[maxn],pre[maxn],vis[maxn],f[maxn];
 struct node{
     int to,next,val;
 }edge[maxn*];

 void add(int x,int y)
 {
     edge[++tot].to=y;
     edge[tot].next=head[x];
     head[x]=tot;
     edge[tot].val=;
 }

 int bfs(int s)
 {
     queue<int>q;
     memset(pre,,sizeof(pre));
     memset(d,0x3f,sizeof(d));
     fake=d[];
     q.push(s);d[s]=;
     while(!q.empty())
     {
         int u=q.front();q.pop();
         for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
         {
             int v=edge[i].to;
             if(d[v]==fake) d[v]=d[u]+edge[i].val,pre[v]=i,q.push(v);
         }
     }
     int top=s;
     for(int i=;i<=n;i++) if(d[i]>d[top]) top=i;
     return top;
 }

 void get_d()
 {
     p=bfs();
     p=bfs(p);
 }

 void Treedp(int u)
 {
     vis[u]=;
     for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
     {
         int v=edge[i].to;
         if(vis[v]) continue;
         Treedp(v);
         ans2=max(ans2,f[u]+f[v]+edge[i].val);
         f[u]=max(f[u],f[v]+edge[i].val);
     }
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&k);
     for(int i=;i<=n-;i++)
     {
         int x=,y=;
         scanf("%d%d",&x,&y);
         add(x,y),add(y,x);
     }
     get_d();
     ans1=d[p];
     if(k==){printf("%d",*(n-)-d[p]+);return ;}
     for(int i=pre[p];i;i=pre[edge[i^].to])
         edge[i].val=-,edge[i^].val=-;
     Treedp();
     printf("%d",*(n-)-(ans1-)-(ans2-));
     return ;
 }