关于dijkstra的小根堆优化

YY引言

在NOI2018D1T1中出现了一些很震惊的情况，D1T1可以用最短路解决，但是大部分人都在用熟知的SPFA求解最短路。而SPFA的最坏复杂度能够被卡到$O(VE)$。就是边的数量乘以点的数量，而用SPFA的各位都被恶意数据卡成了最坏情况。100->60。这显然很不划算。是时候祭出我们的堆优化$dijkstra$了。

核心思想

朴素的dijkstra的核心是一个贪心的过程。每次找当前已知权值的最小的边来进行松弛。但是每次找的过程中都要用$O(m)$的时间。这样很慢。时间复杂度是$O((m+n)n)$。这显然不是我们想要的结果。小根堆的特性是保证堆顶的数是最小的数，所以我们可以用小根堆来替换贪心找最小权值的过程。而使用了小根堆之后的$dijkstra$算法的时间复杂度就变成了$O((m+n)\log n)$，而且很稳定。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

typedef pair<long long, int> P;
const int maxedge = 2e5+3;
const int maxnode = 1e5+3;
priority_queue<P, vector<P>, greater<P> > Q;
int fir[maxnode], nx[maxedge], u[maxedge], v[maxedge], w[maxedge];
int dis[maxnode], n, m, s;
bool book[maxnode];
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while (c <= '9' && c >= '0') {x = x*10 + c-'0'; c = getchar();}
	return x * f;
}

int main() {
	n = read(), m = read(), s = read();
	memset(fir, -1, sizeof(fir));
	fill(dis+1, dis+1+n, 2147483647);
	for(int i=1; i<=m; i++) {
		u[i] = read(), v[i] = read(), w[i] = read();
		nx[i] = fir[u[i]];
		fir[u[i]] = i;
	}
	dis[s] = 0;
	Q.push(P(0, s));
	while (!Q.empty()) {
		P x = Q.top();
		Q.pop();
		if(x.first > dis[x.second])
			continue;
		int k = fir[x.second];
		while (k != -1) {
			if(x.first + w[k] < dis[v[k]]) {
				dis[v[k]] = w[k] + x.first;
				Q.push(P(dis[v[k]], v[k]));
			}
			k = nx[k];
		}
	}
	for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d ", dis[i]);
}

　　

模板题目

Luogu P4779，这个题卡SPFA

Luogu P3371，这个题不卡SPFA