普林斯顿大学算法课 Algorithm Part I Week 3 归并排序 Mergesort
起源:冯·诺依曼最早在EDVAC上实现
基本思想:
- 将数组一分为(Divide array into two halves)
- 对每部分进行递归式地排序(Recursively sort each half)
- 合并两个部分(Merge two halves)
归并排序体现的是一种分治思想(Divide and conquer)
演示:
1. 给出原数组a[],该数组的lo到mid,mid+1到hi的子数组是各自有序的。
2. 将数组复制到辅助数组(auxiliary array)中,给两部分的首元素分别以i和j的下标,给原数组首元素以k的下标
3. 比较i下标和j下标的元素,将较小值赋到k下标位置的元素内,然后对k和赋值的下标进行递增;
该演示里j下标的元素比较小,于是将A赋到k的位置里,再对k和j递增,即j+1, k+1
4. 重复上述过程,直到比较完全部元素。
在Java中的实现
public class Merge
{
private static void merge(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int mid, int hi)
{
assert isSorted(a, lo ,mid); //检查a[lo..mid]是否有序
assert isSorted(a, mid + 1, hi); //检查a[mid+1..hi]是否有序 for(int k = lo; k <= hi; k++) //复制数组
aux[k] = a[k]; int i = lo, j = mid + 1;
for(int k = lo; k <= hi; k++)
{
if (i > mid) a[k] = aux[j++];
else if (j > hi) a[k] = aux[i++];
else if (less(aux[j], aux[i])) a[k] = aux[j++];
else a[k] = aux[i++];
} assert isSorted(a, lo, hi);
} private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int low, int hi)
{
if (hi <= lo) return;
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
sort(a, aux, lo, mid);
sort(a, aux, mid + 1, hi);
merge(a, aux, lo, mid, hi);
} public static void sort(Comparable[] a)
{
aux = new Comparable[a.length];
sort(a, aux, 0, a.length - 1);
}
}
注:Assert(断言)功能:检查表达式内的值,若为true,则程序正常运行,若为false,则抛出异常,终止运行。
性能分析:
算法复杂度为N*log(N)
优化:
问题:归并排序需要根据数组大小N开辟额外的内存
原地算法(in-place Algorithm):占用额外空间小于等于c log(N)的排序算法。
插入排序、选择排序、希尔排序都属于原地算法。归并排序不属于原地算法。Wiki参考
Kronrod在1969年发明了原地归并排序(in-place merge),不过看起来好像不是那么有用(Challenge for the bored)
实践上的改善(practical improvements)
改善1:对小数组使用插入排序
- 归并排序要为小的子数组的开辟投入很多开销(开辟数组除了元素占用内存,数组本身还有固定的开销)
- 当子数组大小超过7,停止(Cutoff)使用插入排序
private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int low, int hi)
{
if (hi <= lo + CUTOFF - 1)
{
Insertion.sort(a, lo, hi);
return;
}
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
sort(a, aux, lo, mid);
sort(a, aux, mid + 1, hi);
merge(a, aux, lo, mid, hi);
}
改善2:当数组排序好时,停止计算
- 两部分都已经排序完毕后,若前半部分的最后一个元素大于后半部分的第一个元素,则证明整个序列都是有序的。
private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int low, int hi)
{
if (hi <= lo) return;
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
sort(a, aux, lo, mid);
sort(a, aux, mid + 1, hi);
if (!less(a[mid + 1], a[mid])) return;
merge(a, aux, lo, mid, hi);
}
利用循环实现归并排序:Bottom-up mergesort
简单思路:循环的每一步都对上一步子数组的二倍长度做merge
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