[bzoj 2460]线性基+贪心+证明过程
题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2460
网上很多题目都没说这个题目的证明,只说了贪心策略,我比较愚钝,在大神眼里的显然的策略还是想证明一下才安心……所以这里记录一下证明过程。
贪心策略:按魔力值从大到小排序,从大往小往线性基里插,如果成功插入新元素,就选这个,如果插不进去,就不选这个。
证明:
设有n个材料,每个材料的属性值是x[1],x[2],...,x[n],魔力值是v[1],v[2],...,v[n],这里假设v已经排好序,即v[1]>=v[2]>=v[3]>=...>=v[n]。
首先证,一定有一个最优解,包含材料1,其属性值是x[1],魔力值是v[1]。
假设原问题存在一个最优解 S = { t1, t2, ... , tk }。其中ti代表第ti个物品,且t1<t2<...<tk。
如果t1等于1,那么得证。
如果t1不等于1,那么我们来证一定有一个元素可以被1替换下来。
考虑1为何不能加进S。因为S是线性无关的,加入1以后,S∪{1}就变得线性相关了。所以必然存在S的一个子集,它们的异或和等于x[1]。
用表达式写出来也就是
(1)
那么1可以把谁替换下来呢?答案是1可以把任何一个替换下来。我们不妨让它替换下来ti,把式子变一下形,两边同时异或上x[ti]^x[1],就得到了
(2)
就会发现x[ti]已经可以被线性表示出来了,而且显然,如果不加x[1]肯定是无法线性表示出来x[ti]的(因为S是线性无关的),所以替换后的线性基跟原来是等价的。
如果不放心,我可以再重述一遍,对于原来S可以表示出来的,替换后的一定也可以表示出来,因为被替换掉的x[ti]已经可以表示出来了;对于原来S不能表示出来的,替换后的也一定表示不出来。可以用反证法证。假设有一个y,用原来的表示不出来,而用替换后的可以表示出来。那肯定是因为加入了x[1]的原因。用式子写出来就是:
(3)
把x[1]用(1)式代换,就可以得到:
(4)
是不是担心,万一左边的x都抵消没了怎么办?实际上不会出现这种情况,因为ti就是独一无二的,在x[i]^...^x[j]里是不会有的(因为ti已经被1替换下来了)。这样,就得到了原来的基也可以得到y,与假设矛盾。
所以这一步证明的作用是什么呢?就是证明了,第一步的贪心策略是正确的。下面来证明,如果第一步的贪心是正确的,以后的贪心也是正确的。
现在只需证,假设当前已经按照贪心策略造出了一个线性无关的基S = { t1, t2, ... , tk },一定存在一个最优解,包含下一步选择的那个最大魔力值的跟S线性无关的一个材料。
设下一步的贪心策略选择是j,假设最优解是 G = {t1, t2, ... , tk , tk+1, tk+2, ... , tk+m}。
如果j∈G,那么得证。
如果j∉G,现在证j一定可以替换掉G中的某个元素,实际上j可以替换掉跟它线性相关的那些元素里的任何一个元素,证明方法跟第一步类似。
j为什么不能属于G呢?因为G是线性无关的,但是加入j之后,就线性相关了,也就是说j是多余的,j可以用其他的线性表示出来。那么可以得到的式子就是:
(5)
(补充:图片里的i, j, k都是代指任意变量)
这个式子实际上跟(1)式是一模一样的。而且这里的i肯定>k,因为根据已知的策略,j一定会选跟t1...tk线性无关的最前面的那个。那么到此,后面的证明跟第1步的证明也是类似的,j也可以替换掉任何一个ti (i>k)。
综上,问题得证。
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=;
pair<int,ll> a[maxn]; vector<ll> base;
bool add(ll x)
{
for(int i=;i<base.size();i++)
x=min(x,x^base[i]);
if (x) base.push_back(x);
if (x) return true;
else return false;
} int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for (int i=;i<n;i++) scanf("%lld%d",&a[i].second,&a[i].first);
sort(a,a+n);
int ans=;
for (int i=n-;i>=;i--) if (add(a[i].second)) ans+=a[i].first;
printf("%d",ans);
return ;
}
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