【UOJ #104】【APIO 2014】Split the sequence

http://uoj.ac/problem/104

此题的重点是答案只与切割的最终形态有关，与切割顺序无关。

设\(f(i,j)\)表示前\(i\)个元素切成\(j\)个能产生的最大贡献。

\(f(i,j)=\max\{f(k,j-1)+sum(k+1,i)(sum(1,n)-sum(k+1,i)),k<i\}\)，其中\(sum(l,r)=\sum\limits_{i=l}^ra_i,sum_k=\sum\limits_{i=1}^ka_i\)

有决策点\(k\)和\(l\)，当\(k<l\)且\(l\)比\(k\)更优时，化出斜率优化dp的式子：$$-2sum_i<\frac{\left(f(l,j-1)-sum_nsum_l-sum_l^{2\right)-\left(f(k,j-1)-sum_nsum_k-sum_k}2\right)}{sum_l-sum_k}$$

可以把每个决策点\(k\)看成横坐标为\(sum_k\)，纵坐标为\(f(l,j-1)-sum_nsum_l-sum_l^2\)的点，每次用斜率为\(-2sum_i\)的直线平移到这个点上，找纵截距最大的直线经过的点作为决策点。

决策点一定在上凸壳，因为\(sum_i\)单调不降，用单调栈维护上凸壳即可。

又因为\(-2sum_i\)单调不升，具有决策单调性，把单调栈改成双端队列，每次不断从队首弹出不够优的决策点。

时间复杂度\(O(nk)\)。

为什么uoj上的样例本机AC提交RE？？？删掉inline还T？？？卡常数！手动把函数压倒主函数里，快速读入，还有二维数组把较小的一维放在前面，这个优化效果最明显！

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

int in() {
	char c = getchar(); int k = 0;
	for (; c < '0' || c > '9'; c = getchar());
	for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())
		k = k * 10 + (c ^ 48);
	return k;
}

const int N = 100003;
const int K = 203;

int n, k, pre[K][N], a[N], head, tail, qu[N];
ll f[K][N], S, sum[N], qucal[N];

ll calzj;
int cut[N], cuttot = 0;

int main() {
	n = in(); k = in();
	for (int i = 1; i <= n; ++i) sum[i] = sum[i - 1] + (a[i] = in());
	S = sum[n];

	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		f[1][i] = 1ll * sum[i] * (S - sum[i]);

	for (int j = 2; j <= k + 1; ++j) {
		head = 0; tail = 0; qu[0] = 0;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			while (head < tail && qucal[head + 1] - qucal[head] >= (sum[qu[head + 1]] - sum[qu[head]]) * (sum[i] * -2)) ++head;
			ll sumlr = sum[i] - sum[qu[head]];
			f[j][i] = f[j - 1][qu[head]] + sumlr * (S - sumlr);
			pre[j][i] = qu[head];
			calzj = f[j - 1][i] - S * sum[i] - sum[i] * sum[i];
			while (head < tail && (sum[qu[tail]] == sum[i] ? (calzj >= qucal[tail]) : (calzj - qucal[tail]) * (sum[qu[tail]] - sum[qu[tail - 1]]) > (qucal[tail] - qucal[tail - 1]) * (sum[i] - sum[qu[tail]]))) --tail;
			if (sum[qu[tail]] != sum[i]) qu[++tail] = i, qucal[tail] = calzj;
			else if (head == tail && calzj >= qucal[head]) qu[tail] = i, qucal[tail] = calzj;
		}
	}

	printf("%lld\n", f[k + 1][n] >> 1);
	int tmp = n;
	for (int i = k + 1; i > 1; --i)
		tmp = cut[++cuttot] = pre[i][tmp];
	for (int i = cuttot; i >= 1; --i) printf("%d ", cut[i]);

	return 0;
}