lightOJ 1132 Summing up Powers（矩阵 二分）

题目链接：http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1132

题意：给出n和m。求sum(i^m)%2^32。(1<=i<=n) (1<=n<=10^15,0<=m<=50)。

思路：本题有两种方法：二分和矩阵。

（1）二分：设我们用DFS(n,m)来计算上面的式子。假如n为奇数，比如n=13，那么我们单独计算13^m，那么剩下的是n=12。前一半是DFS(6,m)，后一半是7^m+8^m+……12^m。

进而n的规模就减小了一半。

（2）矩阵：这里我们假设m=4

设该矩阵为A ，B=[1,1,1,1,1],那么B*A^(n-1)的第一个元素就是n^4。

设该矩阵为C，D=[1,1,1,1,1,1],那么D*C^(n-1)的第一个元素就是1^4+2^4+……+n^4。

下面只给出二分的代码。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <map>

#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define abs(x) ((x)>=0?(x):-(x))
#define i64 long long
#define u32 unsigned int
#define u64 unsigned long long
#define clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define CLR(x) x.clear()
#define ph(x) push(x)
#define pb(x) push_back(x)
#define Len(x) x.length()
#define SZ(x) x.size()
#define PI acos(-1.0)
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define MP(x,y) make_pair(x,y)

#define FOR0(i,x) for(i=0;i<x;i++)
#define FOR1(i,x) for(i=1;i<=x;i++)
#define FOR(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)

#define rush() int CC;for(scanf("%d",&CC);CC--;)
#define Rush(n)  while(scanf("%d",&n)!=-1)
using namespace std;

void RD(int &x){scanf("%d",&x);}
void RD(i64 &x){scanf("%lld",&x);}
void RD(u32 &x){scanf("%u",&x);}
void RD(double &x){scanf("%lf",&x);}
void RD(int &x,int &y){scanf("%d%d",&x,&y);}
void RD(i64 &x,i64 &y){scanf("%I64d%I64d",&x,&y);}
void RD(u32 &x,u32 &y){scanf("%u%u",&x,&y);}
void RD(double &x,double &y){scanf("%lf%lf",&x,&y);}
void RD(int &x,int &y,int &z){scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);}
void RD(i64 &x,i64 &y,i64 &z){scanf("%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&z);}
void RD(u32 &x,u32 &y,u32 &z){scanf("%u%u%u",&x,&y,&z);}
void RD(double &x,double &y,double &z){scanf("%lf%lf%lf",&x,&y,&z);}
void RD(char &x){x=getchar();}
void RD(char *s){scanf("%s",s);}
void RD(string &s){cin>>s;}

void PR(int x) {printf("%d\n",x);}
void PR(int x,int y) {printf("%d %d\n",x,y);}
void PR(i64 x) {printf("%lld\n",x);}
void PR(u32 x) {printf("%u\n",x);}
void PR(double x) {printf("%.3lf\n",x);}
void PR(char x) {printf("%c\n",x);}
void PR(char *x) {printf("%s\n",x);}
void PR(string x) {cout<<x<<endl;}

const int mod=10056;
const i64 inf=((i64)1)<<60;
const double dinf=1e50;
const int INF=1000000000;
const int N=1000005;

const i64 M=((i64)1)<<32;

i64 n;
int m;
u32 C[55][55];

u32 Pow(i64 x,int y)
{
    u32 ans=1,temp=(u32)(x%M);
    while(y)
    {
        if(y&1) ans=ans*temp;
        temp=temp*temp;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}

void init()
{
    int i,j;
    C[0][0]=1;
    for(i=1;i<=50;i++)
    {
        C[i][i]=C[i][0]=1;
        for(j=1;j<i;j++) C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
    }
}

map<pair<i64,int> ,u32> mp;

u32 DFS(i64 n,int m)
{
    if(m==0) return (u32)(n%M);
    if(n==1) return 1;
    if(mp.find(MP(n,m))!=mp.end()) return mp[MP(n,m)];

u32 ans=0;
    if(n&1) ans=Pow(n,m);
    u32 y=1,i;
    for(i=0;i<=m;i++)
    {
        ans+=C[m][m-i]*y*DFS(n/2,m-i);
        y=y*((u32)(n/2%M));
    }
    ans+=DFS(n/2,m);
    mp[MP(n,m)]=ans;
    return ans;
}

int main()
{
    init();
    int num=0;
    rush()
    {
        RD(n); RD(m);
        printf("Case %d: ",++num);
        PR(DFS(n,m));
    }
}