@topcoder - SRM603D1L3@ SumOfArrays

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@desription@

给定两个长度为 n 的数列 A, B。现你可以将两数列重排列，然后对应项相加得到 C[i] = A[i] + B[i]。

问你所能构造的 C 中众数的最大出现次数，以及此时的众数。如果有多种方案，取最大的众数。

原题传送门。

@solution@

记 \(cnta[i]\) 表示 \(i\) 在 A 中的出现次数，\(cntb[i]\) 表示 \(i\) 在 B 中的出现次数。则 p 在 C 中的最大出现次数为 \(\sum_{i=0}^{p}\min(cnta[i], cntb[p-i])\)。

注意到它长得特别像个卷积。我们记 \(Fa_i(x) = \sum_{p=0}^{MAX} [cnta[p] = i]x^{p}\)，同理记 \(Fb_i(x) = \sum_{p=0}^{MAX} [cntb[p] = i]x^p\)。则答案：

\[G(x) = \sum_{i=1}^{n}i\times (Fa_i(x)(\sum_{j=i+1}^{n} Fb_j(x)) + Fb_i(x)(\sum_{j=i+1}^{n} Fa_j(x)) + Fa_i(x) Fb_i(x))
\]

不过这样算还不如暴力快。

注意到 \(\sum cnta[i] = n\)，也就是说如果 i 越大，满足 cnta[p] = i 的 p 会越少。

具体而言，A 中 cnta[p] ≥ K 有 \(O(\frac{n}{K})\) 个，B 中也有 \(O(\frac{n}{K})\)。那么我们可以枚举每一个可能的二元组暴力计算，时间复杂度为 \(O(\frac{n^2}{K^2})\)。

当 K 较大时，这个暴力算法相对于上面的卷积方法而言，其实是非常快的。

于是又到了喜闻乐见的复杂度平衡时间：对于 i < K，使用卷积计算，复杂度为 \(O(K\times MAX\times \log MAX)\)；对于 i >= K，使用暴力枚举，复杂度为 \(O(\frac{n^2}{K^2})\)

因为 n 与 MAX 同阶，我们直接令 \(Kn\log n = \frac{n^2}{K^2}\)，解得 \(K = (\frac{n}{\log n})^{\frac{1}{3}}\)。

然后总时间复杂度 \(O(n^{\frac{4}{3}}\times \log^{\frac{2}{3}}n )\)，虽然看着挺糟不过其实挺优秀的。

@accepted code@

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MOD = 998244353;
const int MAXN = (1 << 17);
const int K = 18;
const int G = 3;

inline int add(int x, int y) {return (x + y >= MOD ? x + y - MOD : x + y);}
inline int sub(int x, int y) {return (x - y < 0 ? x - y + MOD : x - y);}
inline int mul(int x, int y) {return 1LL * x * y % MOD;}

int pow_mod(int b, int p) {
	int ret = 1;
	for(int i=p;i;i>>=1,b=mul(b,b))
		if( i & 1 ) ret = mul(ret, b);
	return ret;
}

int w[22], iw[22];
void init() {
	for(int i=0;i<22;i++) {
		w[i] = pow_mod(G, (MOD - 1) / (1 << i));
		iw[i] = pow_mod(w[i], MOD - 2);
	}
}
int length(int n) {
	int len; for(len = 1; len < n; len <<= 1);
	return len;
}
void ntt(int *A, int n, int type) {
	for(int i=0,j=0;i<n;i++) {
		if( i < j ) swap(A[i], A[j]);
		for(int k=(n>>1);(j^=k)<k;k>>=1);
	}
	for(int i=1;(1<<i)<=n;i++) {
		int s = (1 << i), t = (s >> 1);
		int u = (type == 1 ? w[i] : iw[i]);
		for(int j=0;j<n;j+=s) {
			for(int k=0,p=1;k<t;k++,p=mul(p,u)) {
				int x = A[j+k], y = mul(p, A[j+k+t]);
				A[j+k] = add(x, y), A[j+k+t] = sub(x, y);
			}
		}
	}
	if( type == -1 ) {
		int iv = pow_mod(n, MOD - 2);
		for(int i=0;i<n;i++)
			A[i] = mul(A[i], iv);
	}
}

class SumOfArrays{
	public:
		vector<pair<int, int> >na, nb;
		int f[2*MAXN + 5];
		int ca[MAXN + 5], cb[MAXN + 5];
		int a[MAXN + 5], b[MAXN + 5];
		int ta1[2*MAXN + 5], ta2[2*MAXN + 5], tb1[2*MAXN + 5], tb2[2*MAXN + 5], tmp[2*MAXN + 5];
		string findbestpair(int n, vector<int>A, vector<int>B) {
			init();
			a[0] = A[0], a[1] = A[1], b[0] = B[0], b[1] = B[1];
			for(int i=2;i<n;i++) {
				a[i] = (1LL*A[2]*a[i-1]%A[5] + 1LL*A[3]*a[i-2]%A[5] + A[4]) % A[5];
				b[i] = (1LL*B[2]*b[i-1]%B[5] + 1LL*B[3]*b[i-2]%B[5] + B[4]) % B[5];
			}
			for(int i=0;i<n;i++)
				ca[a[i]]++, cb[b[i]]++;
			for(int i=0;i<MAXN;i++) {
				if( ca[i] >= K ) na.push_back(make_pair(i, ca[i]));
				if( cb[i] >= K ) nb.push_back(make_pair(i, cb[i]));
			}
			for(int i=0;i<(int)na.size();i++)
				for(int j=0;j<(int)nb.size();j++)
					f[na[i].first + nb[j].first] += min(na[i].second, nb[j].second);
			for(int i=1;i<K;i++) {
				bool flag = false;
				for(int j=0;j<MAXN;j++) {
					if( ca[j] > i ) ta1[j]++;
					else if( ca[j] == i ) ta2[j]++, flag = true;

					if( cb[j] > i ) tb1[j]++;
					else if( cb[j] == i ) tb2[j]++, flag = true;
				}
				int len = 2*MAXN;
				if( flag ) {
					ntt(ta1, len, 1), ntt(ta2, len, 1), ntt(tb1, len, 1), ntt(tb2, len, 1);
					for(int j=0;j<len;j++)
						tmp[j] = add(add(mul(ta1[j], tb2[j]), mul(ta2[j], tb1[j])), mul(ta2[j], tb2[j]));
					ntt(tmp, len, -1);
					for(int j=0;j<len;j++)
						f[j] = add(f[j], mul(tmp[j], i));
				}
				for(int j=0;j<len;j++) ta1[j] = ta2[j] = tb1[j] = tb2[j] = tmp[j] = 0;
			}

			int ans = 0, res;
			for(int i=2*MAXN-1;i>=0;i--)
				if( f[i] > ans ) ans = f[i], res = i;
			string ret = "";
			while( res ) ret = (char)(res % 10 + '0') + ret, res /= 10;
			ret = " " + ret;
			while( ans ) ret = (char)(ans % 10 + '0') + ret, ans /= 10;
			return ret;
		}
};

@details@

为什么要把函数返回值设置成这么反人类形式，还要把数转化成字符串。直接返回一个数组不挺好的。