[LOJ 6704] 健身计划

问题描述

九条可怜是一个肥胖的女孩.

她最近长胖了,她想要通过健身达到减肥的目的,于是她决定每天做n次仰卧起坐以达到健身的目的.

她可以将这n次动作分为若干组完成,每一次完成ai次仰卧起坐,每做完一次都会获得 \(F_{a_i}\) 点数,序列 \(F\) 满足如下关系:

\[\begin{cases} F_n=n &n<2\\ xF_n=aF_{n-1}+bF_{n-2} & n\ge2 \end{cases}
\]

九条可怜每天只会做n个动作,每一个分组方案可以获得的贡献是\(\prod_{i}F_{a_i}\),她想要知道所有分组方案的贡献和.答案对\(10^9+7\)取膜.

输入格式

输入仅一行，包含四个整数 $n, x, a, b $，含义见题面。

输出格式

输出包含一个整数，表示所有健身方案的贡献和.

样例输入

3 1 1 1

样例输出

5

解析

看到这种形式的题目一般都会和矩阵快速幂优化递推有关系。不妨先考虑如何DP转移，再从优化转移入手：

设 \(f_i\) 表示当 \(n=i\) 时的答案，那么不难写出如下状态转移方程：

\[f_i=\sum_{j=0}^{i-1}f_j F_{i-j}
\]

考虑想办法把式子中的求和号去掉。我们有这样的操作：

\[\begin{align}
xf_{i+1}-af_i &= x\sum_{j=0}^{i}f_jF_{i+1-j}-a\sum_{j=0}^{i-1}f_jF_{i-j}\\
&=xf_iF_1+x\sum_{j=0}^{i-1}f_jF_{i+1-j}-a\sum_{j=0}^{i-1}f_jF_{i-j}\\
&=xf_i+x\sum_{j=0}^{i-1}f_j\frac{aF_{i-j}+bF_{i-j-1}}{x}-a\sum_{j=0}^{i-1}f_jF_{i-j}\\
&=xf_i+a\sum_{j=0}^{i-1}f_jF_{i-j}+b\sum_{j=0}^{i-1}f_jF_{i-j-1}-a\sum_{j=0}^{i-1}f_jF_{i-j}\\
&=xf_i+b\sum_{j=0}^{i-2}f_jF_{i-j-1}+bf_{i-1}F_0\\
&=xf_i+bf_{i-1}
\end{align}
\]

所以有\(f_i=\frac{x+a}{x}f_{i-1}+\frac{b}{x}f_{i-2}\)。

然后，就可以构造矩阵转移了。注意系数中的分母要用逆元。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define int long long
using namespace std;
const int mod=1000000007;
struct Matrix{
	int a[3][3],n,m;
}S;
int n,x,a,b;
Matrix mult(Matrix a,Matrix b)
{
	Matrix c;
	c.n=a.n,c.m=b.m;
	for(int i=1;i<=c.n;i++){
		for(int j=1;j<=c.m;j++) c.a[i][j]=0;
	}
	for(int i=1;i<=a.n;i++){
		for(int j=1;j<=b.m;j++){
			for(int k=1;k<=a.m;k++) c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
		}
	}
	return c;
}
Matrix poww(Matrix a,int b)
{
	b--;
	Matrix ans=a,base=a;
	while(b){
		if(b&1) ans=mult(ans,base);
		base=mult(base,base);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int pow(int a,int b)
{
	int ans=1,base=a;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*base%mod;
		base=base*base%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
signed main()
{
	cin>>n>>x>>a>>b;
	Matrix ans;
	ans.n=1,ans.m=2;
	ans.a[1][1]=1;ans.a[1][2]=0;
	S.a[1][1]=(a+x)*pow(x,mod-2)%mod,S.a[2][1]=b*pow(x,mod-2)%mod,S.a[1][2]=1;
	S.n=2,S.m=2;
	ans=mult(ans,poww(S,n-1));
	printf("%lld\n",ans.a[1][1]);
	return 0;
}