hdu-2819.swap(二分匹配 + 矩阵的秩基本定理)

Swap

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Special Judge

Problem Description

Given an N*N matrix with each entry equal to 0 or 1. You can swap any two rows or any two columns. Can you find a way to make all the diagonal entries equal to 1?

 

Input

There are several test cases in the input. The first line of each test case is an integer N (1 <= N <= 100). Then N lines follow, each contains N numbers (0 or 1), separating by space, indicating the N*N matrix.

 

Output

For each test case, the first line contain the number of swaps M. Then M lines follow, whose format is “R a b” or “C a b”, indicating swapping the row a and row b, or swapping the column a and column b. (1 <= a, b <= N). Any correct answer will be accepted, but M should be more than 1000.

If it is impossible to make all the diagonal entries equal to 1, output only one one containing “-1”.

 

Sample Input

2
0 1
1 0
2
1 0
1 0

 

Sample Output

1
R 1 2
-1

 

Source

2009 Multi-University Training Contest 1 - Host by TJU

 

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gaojie

这个题一开始没有想到是二分匹配,主要是不知道这个定理.

矩阵的秩:

　　一般矩阵经过初等变换之后得到的阶梯矩阵中,不全为0的行数为行秩,不全为0的列的个数为列秩,一个矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩.

矩阵的秩的一般定理:

　　初等变换不能改变矩阵的秩.

 /*************************************************************************
     > File Name: hdu-2819.swap.cpp
     > Author: CruelKing
     > Mail: 2016586625@qq.com
     > Created Time: 2019年09月02日 星期一 17时56分18秒
     本题大意：给定一个n × n 的0 or 1矩阵，问你若只交换某些行和列(行之间进行交换，列之间进行交换)能否使得最后的矩阵在从左上角到右下角的对角线上元素都为1.
     本题思路：线性代数里我们学过初等变换不会改变矩阵的秩，因此如果一个矩阵满秩，那么必定有解，如何判断矩阵是否满秩呢？因为是0 or 1矩阵，因此，原矩阵经过变换后得到的阶梯矩阵也都只有0 or 1，如果其中某两列的元素完全相等，或者某一列中本来就不存在1那么转换之后的阶梯矩阵自然也就不会满秩。所以我们可以对行和列缩点，判断是否每一列都有独特的一行与之对应，如果说有两列的1都存在与同一行，那么必定无法匹配，所以我们就想到了二分匹配，让行缩点为x，列缩点为y，匹配之后，如果最大匹配为n那么匹配成功，否则说明矩阵非满秩，如何输出解呢？我们遍历所有列,如果发现有一列与他匹配的行不与他的标号相等,则说明这个(i, j)位于第i行第j列,那么我们把第j列换到第i列即可.也就是交换j与linker[j],交换了之后肯定要改变其匹配状态,也就是让匹配i的行和匹配j的行再互换。
  ************************************************************************/

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 using namespace std;

 const int maxn =  + , maxm =  + , inf = 0x3f3f3f3f;

 typedef pair<int, int> pii;
 int n, linker[maxn], g[maxn][maxn];
 bool used[maxn];
 pii path[maxm];
 int tot;

 bool dfs(int u) {
     for(int v = ; v <= n; v ++) {
         if(!used[v] && g[u][v]) {
             used[v] = true;
             if(linker[v] == - || dfs(linker[v])) {
                 linker[v] = u;
                 return true;
             }
         }
     }
     return false;
 }

 int main() {
     while(~scanf("%d", &n)) {
         tot = ;
         for(int i = ; i <= n; i ++) {
             for(int j = ; j <= n; j ++) {
                 scanf("%d", &g[i][j]);
             }
         }
         memset(linker, -, sizeof linker);
         int res = ;
         for(int i = ; i <= n; i ++) {
             memset(used, false, sizeof used);
             if(dfs(i)) res ++;
         }
         if(res != n) printf("%d\n", -);
         else {
             for(int i = ; i <= n; i ++) {
                 while(i != linker[i]) {
                     path[tot ++] = make_pair(i, linker[i]);
                     swap(linker[i], linker[linker[i]]);
                 }
             }
             printf("%d\n", tot);
             for(int i = ; i < tot; i ++) {
                 printf("C %d %d\n", path[i].first, path[i].second);
             }
         }
     }
     return ;
 }