[Python3 练习] 008 欧几里德算法

题目：写个“欧几里德算法”的小程序

(1) 描述

• 我知识浅薄，一开始被“欧几里德”的大名唬住了，去搜了一下才知道这就是高中时学过的“辗转相除法”
• 辗转相除法的用处
  • 求两个正整数的最大公约数
• 示例
  • a = 30，b = 18，求 a 与 b 的最大公约数
    1. a % b = 12 => a = 18, b = 12
    2. a % b = 6 => a = 12, b = 6
    3. a % b = 0 => 此时的 b 即为原来两数的最大公约数
• 总结
  1. 大的数 num1 对小的数 num2 取余
  2. 把 num2 的值赋给 num1，把余数赋给 num2，再进行上一步操作，直到余数为 0
  3. 余数为 0 的那个式子中的 num2 即为最大公约数

(2) 证明

• 方法来自互联网

1) 证明方法1

设 num1，num2，m，r，d 均为自然数

不妨设 num1 > num2，d 为两个数的任意一个公约数；m 表示倍数，r 表示余数

num1 = m * num2 + r

=> r = num1 - m * num2

等式两边同除以 d，得 r/d = (num1 - m * num2)/d = num1/d - m * num2/d

因为 d 为 num1，num2 的公约数，且 m 为自然数

所以 r/d 也是自然数

=> d 必是 r 的约数

=> 求 num1 与 num2 的最大公约数，可以转为求 num2 与 r 的最大公约数

2) 证明方法2

令 d 为 num1，num2 的最大公约数

取 num1 的某一个约数 m1，num2 的某一个约数 m2，使得 num1 = m1 * d，num2 = m2 * d —— (1)

不妨设 r = num1 % num2 = num1 - m * num2 —— (2)

将 (1) 代入 (2)，得 r = m1 * d - m * (m2 * d) = (m1 - m * m2) * d

=> d 也是余数 r 的约数

若 (m1 - m * m2) 与 m2 不互质

不妨设 (m1 - m * m2) = k1 * d'，m2 = k2 * d'，(d'>1)

m1 = m * m2 + k1 * d' = m * (k2 * d') + k1 * d' = (m * k2 + k1) * d'

=> num1 = m1 * d = [(m * k2 + k1) * d'] * d = (m * k2 + k1) * (d' * d)

​ num2 = m2 * d = (k2 * d') * d = k2 * (d' * d)

=> num1 与 num2 有公约数 (d' * d)

因为 d' > 1，d >= 1

所以 (d' * d) > d

=> 与题设矛盾

=> (m1 - m * m2) 与 m2 互质

=> d 也是 num2 与 r 的最大公约数

(3) 要求

• 写出“欧几里德算法”的程序，起名为 gcd()
  • gcd 为 Greatest Common Divisor（最大公约数） 的缩写

(3) 程序

1) 代码

# 解法1

def gcd(num1, num2):	# 不需要规定 x > y，就算 x < y，取一次余就换回来了
    while num2 != 0:
        t = num1 % num2
        num1 = num2
        num2 = t

    return num1

# 解法2 更贴近算法的描述

def gcd(num1, num2):
    while num1:
        num1, num2 = num2 % num1, num1

    return num2

2) 运行情况

>>> print(gcd(16, 36))

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