构造+数位dp
题意:给定正整数a,b,k,你的任务是在所有满足a<=n<=b中的整数n中,统计有多少个满足n自身是k的倍数,且n的各位数字之和也是k的倍数。
【思路】
这种题的固定套路是设f(x)为[0,x]中满足题意的解的个数,那么本题的答案就是f(b)-f(a-1)。关键问题就是求解f函数。因为数据范围太大,无法穷举,所以这道题要用分段求和的思想来解决问题。比如说要求解f(3212),那么就把[0,3212]拆分出来,也就是
第一部分 0***,1***,2****
第二部分 30**,31**
第三部分 320*
第四部分 3210,3211,3212
(*表示0-9任意一个数)
然后分别求解求和,求解时用到数位dp,设dp(d,m1, m2)表示有d位*,各位数字和%k==m1,整体%k==m2,那么现在考虑它的递推式。假设d位*中的最高位是x,那么现在的数字就是x****…*(d-1个*),设后面d-1个*的各位数字之和为a,整体为b,那么(x+a)%k=m1, (x*10^(d-1)+b)%k=m2
反解出a%k=((m1-x)%k+k)%k, b%k=((m2-10^(d-1)*x)%k+k)%k
所以递推公式就是dp(d,m1, m2)=sum{dp(d-1, a%k, b%k)} (0<=x<=9)
对递归结束条件d==0时的解有两种理解方法
<1>当d==1时,即dp(1,m1,m2)将d==1代入可得a%k=((m1-x)%k+k)%k, b%k=((m2-x)%k+k)%k。而对dp(1,m1,m2)来说,只有一个*,位数和和自身相等,如果m1!=m2,那么dp(1,m1,m2)=0,如果m1==m2,那么当x%k==m1时即x=ck+m1即(m1-x)%k=0即a%k=0,b%k=0时有一组对应解。所以dp(0,m1,m2)==1(m1=0, m2=0),其他情况dp(0,m1, m2)==0。
<2>其实直观的去想,当d==0时一个*也没有,表示的就是数字0,而0对任何数求余还是0,所以当m1==m2==0的时候,0符合条件dp(0,m1,m2)==1,否则为0。
还有一个细节要注意就是虽然k的范围是[1,10000]但是由于a,b都在int范围内,所以位数和最大不会超过82,当k>82以后,无论如何一个int整数的各位数字之和 mod k != 0,也就是无解,直接输出0即可。
最后就是f(x)的计算了,把x的每一位都存储起来,低位在前。通过模拟的方式,用bitsum记录之前已经积累的位数和,sum记录之前已经累计的整体和,具体的细节还要在代码中体现。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; const int pw[] = { , , , , , , , , , }; int a, b, k;
int dp[][][];
int bit[]; int dfs(int d, int m1, int m2) {
if ( == d) return dp[d][m1][m2] = (m1 == && m2 == ) ? : ;//关键!
if (- != dp[d][m1][m2]) return dp[d][m1][m2]; int ans = ;
for (int x = ; x <= ; x++) {
ans += dfs(d - , ((m1 - x) % k + k) % k, ((m2 - x*pw[d-]) % k + k) % k);
}
return dp[d][m1][m2] = ans;
} int f(int x) {//求出[0,x]中符合题意的数的个数 if ( == x) return ;//特例,0对任何数求余都是0 //按位存储数字
int cpy = x, size = ;
memset(bit, , sizeof(bit));
while (cpy) {
bit[size++] = cpy % ;
cpy /= ;
} int ans = ;
int bitsum = ;//位数和
int sum = ;//整体和 for (int i = size - ; i >= ; i--) {
if (i) {
for (int j = ; j < bit[i]; j++) {
ans += dfs(i, (k-(bitsum+j)%k )%k, (k- (sum+j*pw[i])%k )%k );
//ans += dfs(i, ((-(bitsum+j))%k + k)%k , ((-(sum+j*pw[i]))%k + k)%k );
//两种写法,同模的式子正确即可
}
}
else {
for (int j = ; j <= bit[i]; j++) {//个位,可以取到最大值
ans += dfs(i, (k-(bitsum+j)%k )%k, (k- (sum+j*pw[i])%k )%k );
}
}
bitsum += bit[i];//及时更新
sum += bit[i]*pw[i];
} return ans;
} int main() {
int t;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%d%d%d", &a, &b, &k);
if (k > ) { printf("0\n"); }
else {
memset(dp, -, sizeof(dp));
int ans = f(b) - f(a - );
printf("%d\n", ans);
}
}
return ;
}
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