线性DP总结（LIS,LCS,LCIS，最长子段和）

做了一段时间的线性dp的题目是时候做一个总结
线性动态规划无非就是在一个数组上搞嘛，
首先看一个最简单的问题：
一，最长字段和
下面为状态转移方程

       for(int i=2;i<=n;i++)
        {
              if(dp[i-1]>=0)
                  dp[i]=dp[i-1]+a[i];
              else
                  dp[i]=a[i];
        }

例题
裸的最长字段和
可以用滚动数组，下面是用滚动数组写的

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>

using namespace std;
int n;
int a;
int sum;
int _begin;
int _end;

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    int k=0;
    while(t--)
    {
        int max;
        int x=1;
        scanf("%d%d",&n,&a);
        sum=a;
        max=a;
        _begin=_end=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a);
            if(sum>=0)
            {
                sum+=a;
            }
            else
            {
                sum=a;
                x=i;
            }
            if(max<sum)
            {
                max=sum;
                _begin=x;
                _end=i;
            }

        }
          cout<<"Case "<<++k<<":"<<endl<<max<<" "<<_begin<<" "<<_end<<endl;
        if(t)
            cout<<endl;

    }
    return 0;
}

升级一下，二维的呢？也就是求最大子矩阵和
状态转移方程，其实就是将一维转换成二维的，如何转换呢？操作就是将第一行每个数加上第二行对应的每个数，变成一维的进行dp,再加上第三行对应的每个数，进行DP。起点行分别枚举从1到n。

     for(int i=1;i<=n;i++)
       {
           memset(b,0,sizeof(b));
           memset(dp,0,sizeof(dp));
           for(int k=i;k<=n;k++)
           {
               for(int j=1;j<=n;j++)
               {
                   b[j]+=a[k][j];
                   if(dp[j-1]>=0)
                       dp[j]=dp[j-1]+b[j];
                   else
                       dp[j]=b[j];
                   if(sum<dp[j])
                       sum=dp[j];
               }
           }

       }

例题

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>

using namespace std;
int a[105][105];
int n;
int dp[105];
int b[105];
int sum;
int main()
{
   while(scanf("%d",&n)!=EOF)
   {
       sum=0;
       for(int i=1;i<=n;i++)
       {
           for(int j=1;j<=n;j++)
           {
               scanf("%d",&a[i][j]);
           }
       }
       for(int i=1;i<=n;i++)
       {
           memset(b,0,sizeof(b));
           memset(dp,0,sizeof(dp));
           for(int k=i;k<=n;k++)
           {
               for(int j=1;j<=n;j++)
               {
                   b[j]+=a[k][j];
                   if(dp[j-1]>=0)
                       dp[j]=dp[j-1]+b[j];
                   else
                       dp[j]=b[j];
                   if(sum<dp[j])
                       sum=dp[j];
               }
           }

       }
       printf("%d\n",sum);

   }
    return 0;
}

接下来就是LIS问题，LIS就是最长下降子序列或者是最长上升子序列。有O(n^2)效率的算法，也有O(nlogn)效率的算法。
先说O(n^2)效率的算法。很简单，DP[j] = MAX(DP[i]) + 1 满足条件a[j] > a[i]
转态转移方程

     for(int i=2;i<=n+1;i++)
        {
            int num=0;
            for(int j=i-1;j>=1;j--)
            {
                if(a[i]>a[j])
                    num=max(num,dp[j]);
            }
            dp[i]=num+1;
        }

O(nlogn)效率的算法，参考这篇博文
博文
其实过程很简单，以最长上升子序列为例。dp数组的最终长度就是最长上升子序列，遍历a数组，a[i]如果比dp数组最后一个元素大，即a[i]>dp[len]则直接加入dp数组里。否则就要二分查找到第一个大于a[i]的dp[j],然后将dp[j]换成a[i],最终的dp数组的长度就是答案。
例题

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>

using namespace std;
#define MAX 40000
int a[MAX+5];
int dp[MAX+5];
int n;
int search(int num,int l,int r)
{
    int mid;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)/2;
        if(num>=dp[mid])
            l=mid+1;
        else
            r=mid-1;
    }
    return l;
}
int main()
{
    int cas=0;
    int x,y;
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);

        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);

        }
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[1]=a[1];
        int len=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            if(a[i]>=dp[len])
                dp[++len]=a[i];
            else
            {
                int pos=search(a[i],1,len);
                dp[pos]=a[i];
            }
        }
        printf("%d\n",len);
    }
    return 0;
}

还有一个比较相似的求最长连续上升子序列或最长连续下降子序列。求解这个就不用DP了，应该用线段树。

接下来就是LCS,最长公共子序列问题，这个也有O(n^2)的效率和O(nlogn)的效率
O(n^2)效率的看代码

      for(int i=0;i<len1;i++)
        {
            for(int j=0;j<len2;j++)
            {
                if(s1[i]==s2[j])
                    dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
                else
                    dp[i+1][j+1]=max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]);

            }
        }

O(nlogn)效率是把LCS转化成LIS问题
a[] = {a, b, c,} b[] = {a,b,c,b,a,d},那么a中的a，b，c在b中出现的位置分别就是{0,4},{1,3},{2}分别按降序排列后代入a序列就是{4,0,2,3,1}，